Questão 3 (2.0 pontos) Seja e .
(a) Mostre que é uma base de .
(b) Sabemos que é uma base para , determine e .
Passo 1
O espaço tem dimensão 3 e a base padrão é
(a) Precisamos mostrar que
é também uma base de , isto é, que seus três vetores são linearmente independentes (LI) em um espaço de dimensão 3.
(b) Como e são bases de , queremos encontrar as matrizes de mudança de coordenadas de para (denotada ) e de para (denotada ).
Passo 2
Para (a) verificamos independência linear de
como polinômio. Agrupando termos, obtemos
Igualando coeficientes:
Da primeira e segunda equações vem . Substituindo na terceira dá . Logo , mostrando que os vetores de são LI.
Passo 3
Como B é um conjunto de três vetores LI em um espaço de dimensão 3, ele forma uma base de V. Isso conclui (a).
Passo 4
Para (b), primeiro achamos [P]B^C, a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas em C. Basta expressar cada vetor de B na base C: