Questão 3 (2.0 pontos) Seja V=P2(R) e F=R.
(a) Mostre que B=1+t^2, t+t^2, 1+t+t^2 é uma base de V.
(b) Sabemos que C=1, t, t^2 é uma base para V, determine [P]C^B e [P]B^C.

Passo 1

O espaço V=P2(R) tem dimensão 3 e a base padrão é
C=1,;t,;t^2
(a) Precisamos mostrar que
B=,1+t^2,;t+t^2,;1+t+t^2
é também uma base de V, isto é, que seus três vetores são linearmente independentes (LI) em um espaço de dimensão 3.
(b) Como C e B são bases de V, queremos encontrar as matrizes de mudança de coordenadas de B para C (denotada [P]B^C) e de C para B (denotada [P]C^B).

Passo 2

Para (a) verificamos independência linear de
como polinômio. Agrupando termos, obtemos
Igualando coeficientes:
Da primeira e segunda equações vem . Substituindo na terceira dá . Logo , mostrando que os vetores de são LI.

Passo 3

Como B é um conjunto de três vetores LI em um espaço de dimensão 3, ele forma uma base de V. Isso conclui (a).

Passo 4

Para (b), primeiro achamos [P]B^C, a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas em C. Basta expressar cada vetor de B na base C:
1+t^2 = 1cdot1 + 0cdot t + 1cdot t^2 longrightarrow 101C,
t+t^2 = 0cdot1 + 1cdot t + 1cdot t^2 longrightarrow 011C,
1+t+t^2 = 1cdot1 + 1cdot t + 1cdot t^2 longrightarrow 111C
Portanto
[P]B^C = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1

Passo 5

Agora [P]C^B é a inversa dessa matriz. Calculando a inversa de
1&0&10&1&11&1&1
encontra-se
[P]C^B = 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1

Resposta

[P]B^C = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 , [P]C^B = 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1

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