Questão 4
código de prova
(a) Partindo das equações de Maxwell, obtenha a equação de onda para o campo elétrico
em um meio linear (com permissividade elétrica
e permeabilidade magnética
) e ôhmico (com condutividade elétrica
, sendo
), na ausência de cargas externas (
).
(b) Mostre que essa equação admite soluções de ondas planas da forma
e determine a relação entre a grandeza complexa
e a frequência angular da onda
.
(c) Separe as partes real e imaginária de
, escrevendo
, e dê uma interpretação física para as quantidades
e
.
Equações de Maxwell:
Meio linear:
código de prova |
(b) Mostre que essa equação admite soluções de ondas planas da forma
(c) Separe as partes real e imaginária de
Passo 1
O enunciado pede três coisas num meio linear (
,
) e ôhmico (condutividade
), sem cargas livres (
): (a) derivar a equação de onda para o campo elétrico
a partir das equações de Maxwell; (b) mostrar que ela admite solução de onda plana
e obter a relação entre
e
; (c) separar
e interpretar fisicamente
e
. Vamos usar as equações
com
,
,
.
Passo 2
Aplicamos
em
e usamos a identidade vetorial
Assim
Passo 3
Em ausência de cargas livres,
. E da lei de Ampère temos
Logo
Passo 4
Substituindo no resultado do passo anterior e usando
achamos a equação de onda ôhmica para
:
Passo 5
Propondo solução de onda plana
temos
Substituindo em
dá
Passo 6
Logo
e escolhemos o sinal com
para ondas que viajam em
.
Passo 7
Escrevendo
e igualando partes real e imaginária em
temos
Físico:
é constante de fase (fase varia como
, define velocidade de fase
) e
é constante de atenuação (amplitude decai como
, mede o quanto o meio absorve a onda).
Resposta
(a)
(b) Admitindo obtém-se
ou
(c) Com encontra-se
Fisicamente, é a constante de fase (define
) e
a constante de atenuação (amplitude decai como
).
(b) Admitindo
ou
(c) Com
Fisicamente,