Questão 4

código de prova
(a) Partindo das equações de Maxwell, obtenha a equação de onda para o campo elétrico em um meio linear (com permissividade elétrica e permeabilidade magnética ) e ôhmico (com condutividade elétrica , sendo ), na ausência de cargas externas ( ).
(b) Mostre que essa equação admite soluções de ondas planas da forma e determine a relação entre a grandeza complexa e a frequência angular da onda .
(c) Separe as partes real e imaginária de , escrevendo , e dê uma interpretação física para as quantidades e .
Equações de Maxwell:



Meio linear:

Passo 1

O enunciado pede três coisas num meio linear ( epsilon, mu) e ôhmico (condutividade g), sem cargas livres ( rhon = 0): (a) derivar a equação de onda para o campo elétrico E a partir das equações de Maxwell; (b) mostrar que ela admite solução de onda plana E(z,t)=E0,e^i(widetildekz-omega t) e obter a relação entre widetildek e omega; (c) separar widetildek=alpha+ibeta e interpretar fisicamente alpha e beta. Vamos usar as equações
nablacdotD=0, nablatimesE=-partialBpartial t, nablatimesH=Jf+partialDpartial t,
com D=epsilonE, H=tfrac1muB, Jf=gE.

Passo 2

Aplicamos nablatimes em nablatimesE=-partialB/partial t e usamos a identidade vetorial
nablatimes(nablatimesE) =nabla(nablacdotE)-nabla^2E,
Assim
nabla(nablacdotE)-nabla^2E =-partialpartial t(nablatimesB),

Passo 3

Em ausência de cargas livres, nablacdotE=0. E da lei de Ampère temos
nablatimesB =mu,Jf+mu,partialDpartial t =mu,g,E+mu,epsilon,partialEpartial t,
Logo
-partialpartial t(nablatimesB) =-mu,g,partialEpartial t -mu,epsilon,partial^2Epartial t^2,

Passo 4

Substituindo no resultado do passo anterior e usando nabla(nablacdotE)=0 achamos a equação de onda ôhmica para E:
nabla^2E -mu,epsilon,partial^2Epartial t^2 -mu,g,partialEpartial t =0,

Passo 5

Propondo solução de onda plana
E(z,t)=E0,e^i(widetildekz-omega t)
temos
nabla^2E=-widetildek^2E, partialEpartial t=-iomegaE, partial^2Epartial t^2=-omega^2E,
Substituindo em nabla^2E-muepsilon,partial^2tE-mu g,partialtE=0

Passo 6

-widetildek^2,E -mu,epsilon,(-omega^2),E -mu,g,(-iomega),E =0 Longrightarrow widetildek^2 =mu,epsilon,omega^2 +i,mu,g,omega
Logo
widetildek =pmraizmuepsilon,omega^2+i,mu,g,omega,
e escolhemos o sinal com Re(widetildek)>0 para ondas que viajam em +z.

Passo 7

Escrevendo widetildek=alpha+ibeta e igualando partes real e imaginária em
(alpha+ibeta)^2 =alpha^2-beta^2+2ialphabeta =muepsilon,omega^2 +i,mu,g,omega
temos
alpha^2-beta^2=muepsilon,omega^2, 2alphabeta=mu,g,omega
Físico: alpha é constante de fase (fase varia como e^ialpha z, define velocidade de fase vphi=omega/alpha) e beta é constante de atenuação (amplitude decai como e^-beta z, mede o quanto o meio absorve a onda).

Resposta

(a) nabla^2E-muepsilon,partial^2Epartial t^2-mu,g,partialEpartial t=0
(b) Admitindo E(z,t)=E0e^i(widetildekz-omega t) obtém-se
widetildek^2=muepsilon,omega^2+i,mu,g,omega,
ou widetildek=pmraizmuepsilon,omega^2+i,mu,g,omega
(c) Com widetildek=alpha+ibeta encontra-se
alpha^2-beta^2=muepsilon,omega^2,;;2alphabeta=mu,g,omega
Fisicamente, alpha é a constante de fase (define vphi=omega/alpha) e beta a constante de atenuação (amplitude decai como e^-beta z).

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