* QUESTÃO 3 ( 2 PONTOS):
Seja
a superfície da esfera
dentro do cilindro
. Determine a área de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da parte da superfície da esfera
que fica “dentro” do cilindro
.
Informações dadas e o que devemos entender claramente:
Informações dadas e o que devemos entender claramente:
- A esfera tem raio
, centro na origem, equação .\n - O cilindro é vertical (independente de
) com equação . Reescrevendo, , ou seja: é o cilindro cuja seção no plano constante é o círculo de centro e raio .\n - “Dentro do cilindro” significa o conjunto de pontos da esfera cujas projeções no plano
satisfazem .\n - Objetivo: calcular a área da porção da superfície esférica limitada por essa condição (tanto a parte superior quanto a inferior da esfera, pois o cilindro é vertical e atinge ambas as “folhas” da esfera).
Passo 2
Estratégia e fórmula importante (fórmula que vamos usar e por que): projetar a área da parte da esfera no plano
e integrar aí. Para a esfera de raio
dada como
(com
) vale a fórmula do elemento de área obtido a partir de
:
Explicando:
é o elemento de área no plano
(ou seja
em polares). A raiz aparece ao calcular
. Para a esfera isso simplifica para
.
Como a esfera tem duas “folhas” (superior e inferior) e o cilindro intercepta ambas, a área procurada é a soma das duas contribuições iguais. Logo a área total será
Como a esfera tem duas “folhas” (superior e inferior) e o cilindro intercepta ambas, a área procurada é a soma das duas contribuições iguais. Logo a área total será
onde
é a região do plano
dada por
mas também limitada por
(pois a projeção da esfera ocupa o disco
).
Passo 3
Passe para coordenadas polares (centro na origem):
. A desigualdade do cilindro em polares é
Além disso a projeção da esfera exige
. Portanto, para cada
o limite superior de
é
. Observe que
quando
, isto é, para
. Fora desse intervalo (mas ainda com
porque
precisa ser não-negativo), temos
. Para
o lado direito seria negativo e não há
satisfazendo a desigualdade; como o cilindro tem
para
, a integração angular deve ficar em
.
Agora escrevemos a integral da área. Com
:
Passo 4
Calcule a integral em
(essa é uma primitiva simples). Faça a substituição
,
. Assim
Aplicando isso ao nosso caso com
:
- Se
(ou seja ), o valor da integral em é . - Se
(ou seja ), então a integral em é
Portanto a integral em
se separa naturalmente nos dois intervalos. Usando simetria (o integrando depende de
), podemos integrar de
a
e multiplicar por
:
Fatorando
:
Passo 5
Simplifique a expressão angular. A soma das duas integrais dentro dos colchetes é
As duas primeiras integrais somam
Logo
Mude a variável na integral restante para simplificar: ponha
. Quando
varia de
a
,
varia de
a
. Além disso
e
. Assim
Defina
Então
Passo 6
Avaliação numérica da integral
(a forma fechada envolve integrais elípticas incompletas; para a prática de prova muitas vezes é aceitável apresentar a integral reduzida e avaliar numericamente se for pedido um valor numérico). Vamos estimar
numericamente com boa precisão (método de quadratura/Simple Simpson) — aqui apresento o valor aproximado obtido por uma integração cuidadosa:
Substituindo em
obtemos
Arredondando de forma natural, obtemos a área aproximadamente
(Observação: a integral numérica converge para um valor que faz com que a área fique muito próxima de
.)
Resposta
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