* QUESTÃO 4 (2 PONTOS):

Sejam o campo vetorial F(x, y, z)=\left(x^{3}+y z, y^{3}+x z, z^{3}+x y\right) e S é superfície do sólido limitado por x^{2}+y^{2}=1, z=0 e z=2. Determine o fluxo a través de S.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y,z)=\left(x^{3}+y z,\;y^{3}+x z,\;z^{3}+x y\right) e pede o fluxo de F através da superfície S do sólido limitado por \,x^{2}+y^{2}=1\,,\;z=0 e \,z=2.\n
Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A superfície S é a superfície fechada que limita o cilindro de raio 1 entre os planos \,z=0 e \,z=2. Ou seja, S é composta pela casca cilíndrica lateral mais o disco superior em z=2 e o disco inferior em z=0.
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=\left(x^{3}+y z,\;y^{3}+x z,\;z^{3}+x y\right).
  • A pergunta: determinar o fluxo de F através de S. (Interpretamos fluxo positivo como o fluxo com a normal apontando para fora do sólido, isto é, orientação externa.)

Passo 2

Escolha do método e explicação teórica (sem ainda fazer contas): vou usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Explico o que é e por que é apropriado.
  • Teorema da Divergência (enunciado): se V é um sólido com fronteira fechada S=\partial V orientada externamente e F é um campo vetorial suficientemente suave, então o fluxo de F através de S é igual à integral tripla do divergente de F sobre V. Em fórmulas:
\iint_{S} F\cdot n\,dS = \iiint_{V} \operatorname{div}F\,dV.
Aqui n é a normal externa e \operatorname{div}F é a divergência de F.
  • O que é divergência? Para F=(F_1,F_2,F_3),
\operatorname{div}F = \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
A divergência mede a “taxa de saída” local do campo — se for conveniente integrar no volume em coordenadas adequadas, a teoria transforma a integral de superfície numa integral mais simples no volume.
  • Por que usar aqui? Porque S é a superfície fechada de um cilindro simples (limites rectos em r,\theta,z), e calcular a divergência e integrar no volume cilíndrico é direto e mais simples do que somar fluxos da lateral, topo e fundo separadamente.
Agora vou aplicar o teorema: primeiro calculo a divergência de F.

Passo 3

Cálculo da divergência de F.
  • F_1(x,y,z)=x^{3}+y z. Derivando em relação a x:
\frac{\partial F_1}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+y z\bigr)=3x^{2}.
  • F_2(x,y,z)=y^{3}+x z. Derivando em relação a y:
\frac{\partial F_2}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}+x z\bigr)=3y^{2}.
  • F_3(x,y,z)=z^{3}+x y. Derivando em relação a z:
\frac{\partial F_3}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{3}+x y\bigr)=3z^{2}.
Somando as três derivadas, obtemos a divergência:
\operatorname{div}F = 3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 4

Configuração da integral tripla usando coordenadas cilíndricas e explicação das variáveis.
  • Em coordenadas cilíndricas temos as relações:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge0 é a distância radial no plano xy, \theta\in[0,2\pi) é o ângulo polar e z é a coordenada vertical.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Esse fator r é o jacobiano da mudança de variáveis; intuitivamente ele aparece porque “fatias” radiais têm comprimento proporcional a r.
  • No nosso caso o sólido V é o cilindro com 0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi, 0\le z\le 2.
  • Substituindo \operatorname{div}F=3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) em coordenadas cilíndricas, usamos x^{2}+y^{2}=r^{2}, então
\operatorname{div}F = 3\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr).
  • Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S} F\cdot n\,dS = \iiint_{V} \operatorname{div}F\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{2} 3\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Avaliação da integral passo a passo (integrando primeiro em z, depois r, por fim \theta).
  • Primeiro simplifico o integrando:
3\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)\,r = 3\bigl(r^{3}+r z^{2}\bigr).
  • Integral em z de 0 a 2:
\int_{0}^{2} 3\bigl(r^{3}+r z^{2}\bigr)\,dz = 3\left[ r^{3}z + r\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 3\left( r^{3}\cdot 2 + r\cdot\frac{8}{3}\right).
Calculo interno:
3\left(2r^{3}+\frac{8}{3}r\right) = 6r^{3}+8r.
  • Agora integro em r de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \bigl(6r^{3}+8r\bigr)\,dr = \left[6\cdot\frac{r^{4}}{4} + 8\cdot\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{6}{4} + 4\right) = \frac{3}{2} + 4 = \frac{11}{2}.
  • Finalmente integro em \theta de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} \frac{11}{2}\,d\theta = \frac{11}{2}\cdot 2\pi = 11\pi.

Passo 6

Interpretação final e comentário motivador: portanto o fluxo total de F através da superfície fechada S (com orientação externa) é \,11\pi. Mandou bem por enfrentar essa — a técnica principal aqui é reconhecer quando vale a pena usar o Teorema da Divergência e lembrar da troca para coordenadas cilíndricas com o fator r.

Resposta

\,11\pi

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