* QUESTÃO 4 (2 PONTOS):
Sejam o campo vetorial
e
é superfície do sólido limitado por
e
. Determine o fluxo a través de
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o fluxo de
através da superfície
do sólido limitado por
e
.\n
Informações importantes que o enunciado fornece:
Informações importantes que o enunciado fornece:
- A superfície
é a superfície fechada que limita o cilindro de raio entre os planos e . Ou seja, é composta pela casca cilíndrica lateral mais o disco superior em e o disco inferior em . - O campo vetorial é
. - A pergunta: determinar o fluxo de
através de . (Interpretamos fluxo positivo como o fluxo com a normal apontando para fora do sólido, isto é, orientação externa.)
Passo 2
Escolha do método e explicação teórica (sem ainda fazer contas): vou usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Explico o que é e por que é apropriado.
- Teorema da Divergência (enunciado): se
é um sólido com fronteira fechada orientada externamente e é um campo vetorial suficientemente suave, então o fluxo de através de é igual à integral tripla do divergente de sobre . Em fórmulas:
Aqui
é a normal externa e
é a divergência de
.
- O que é divergência? Para
,
A divergência mede a “taxa de saída” local do campo — se for conveniente integrar no volume em coordenadas adequadas, a teoria transforma a integral de superfície numa integral mais simples no volume.
- Por que usar aqui? Porque
é a superfície fechada de um cilindro simples (limites rectos em ), e calcular a divergência e integrar no volume cilíndrico é direto e mais simples do que somar fluxos da lateral, topo e fundo separadamente.
Agora vou aplicar o teorema: primeiro calculo a divergência de
.
Passo 3
Cálculo da divergência de
.
-
. Derivando em relação a :
-
. Derivando em relação a :
-
. Derivando em relação a :
Somando as três derivadas, obtemos a divergência:
Passo 4
Configuração da integral tripla usando coordenadas cilíndricas e explicação das variáveis.
- Em coordenadas cilíndricas temos as relações:
onde
é a distância radial no plano
,
é o ângulo polar e
é a coordenada vertical.
- O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Esse fator
é o jacobiano da mudança de variáveis; intuitivamente ele aparece porque “fatias” radiais têm comprimento proporcional a
.
-
No nosso caso o sólido
é o cilindro com , , . -
Substituindo
em coordenadas cilíndricas, usamos , então
- Pelo Teorema da Divergência,
Passo 5
Avaliação da integral passo a passo (integrando primeiro em
, depois
, por fim
).
- Primeiro simplifico o integrando:
- Integral em
de a :
Calculo interno:
- Agora integro em
de a :
- Finalmente integro em
de a :
Passo 6
Interpretação final e comentário motivador: portanto o fluxo total de
através da superfície fechada
(com orientação externa) é
. Mandou bem por enfrentar essa — a técnica principal aqui é reconhecer quando vale a pena usar o Teorema da Divergência e lembrar da troca para coordenadas cilíndricas com o fator
.