A restrição z=1 corta o cone onde \sqrt{x^{2}+y^{2}}=1, ou seja, na curva de raio 1.
Precisamos parametrizar a superfície S, calcular o elemento de área dS em termos dos parâmetros e então calcular a integral dupla no domínio de parâmetros.
Passo 2
Escolher uma parametrização adequada e os limites dos parâmetros.
Raciocínio e escolha (explicando passo a passo):
O cone tem a forma z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em coordenadas polares no plano xy é natural usar x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
Na superfície do cone temos então z=r. Assim uma parametrização natural é usar r e \theta como parâmetros.
Como estamos no primeiro octante, x\ge0,\\ y\ge0 implica \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
A interseção com z=1 dá r=1. Como o cone vai do vértice r=0 até essa curva, r varia de 0 a 1.
Calcular o produto vetorial \frac{\partial\mathbf{R}}{\partial r}\times\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial \theta}.
Fazendo o determinante componente a componente obtemos
Breve explicação didática: o procedimento acima é padrão para integrar sobre uma superfície parametrizada \mathbf{R}(u,v): o elemento de área é \left\lVert \mathbf{R}_u\times\mathbf{R}_v\right\rVert du\,dv. Aqui u=r e v=\theta.
Passo 4
Expressar a função integranda em termos dos parâmetros e montar a integral.
Na parametrização temos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=r.
Logo
x y z = (r\cos\theta)(r\sin\theta)(r)=r^{3}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo elemento de área:
x y z \, dS = r^{3}\cos\theta\sin\theta \cdot (r\sqrt{2}\, dr\, d\theta) = \sqrt{2}\, r^{4}\cos\theta\sin\theta \, dr\, d\theta.
Assim a integral pedida fica
\iint_{S} x y z \, dS = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \sqrt{2}\, r^{4}\cos\theta\sin\theta \, dr\, d\theta.
Passo 5
Calcular a integral dupla separando variáveis e efetuando as integrais.
A função é produto de uma parte só em r e outra só em \theta, então separamos:
\iint_{S} x y z \, dS = \sqrt{2}\left(\int_{r=0}^{1} r^{4}\, dr\right)\left(\int_{\theta=0}^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\, d\theta\right).
Calcular cada integral:
Integral em r:
\int_{0}^{1} r^{4}\, dr = \left[\dfrac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{5}.
Integral em \theta:
usar a primitiva \int \cos\theta\sin\theta\, d\theta = \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta, então
\iint_{S} x y z \, dS = \sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{10}.
Pequena motivação final: a separação funcionou porque a dependência angular é simples (\cos\theta\sin\theta) e o resto depende só de r; sempre que a parametrização e a função separam assim a integral fica bem direta.