* QUESTÃO 2 (2 PONTOS):

Calcule a integral de superfície \iint_{S} x y z d S, onde S é a superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} no primeiro octante limitado pelo plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x y z \, dS,
onde S é a superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} no primeiro octante limitada pelo plano z=1.
Informações dadas e o que precisamos usar:
  • Superfície: S=\{(x,y,z)\mid z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\\ x\ge0,\\ y\ge0,\\ z\le1\}.
  • Função a integrar sobre S: f(x,y,z)=x y z.
  • A restrição z=1 corta o cone onde \sqrt{x^{2}+y^{2}}=1, ou seja, na curva de raio 1.
  • Precisamos parametrizar a superfície S, calcular o elemento de área dS em termos dos parâmetros e então calcular a integral dupla no domínio de parâmetros.

Passo 2

Escolher uma parametrização adequada e os limites dos parâmetros.
Raciocínio e escolha (explicando passo a passo):
  • O cone tem a forma z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em coordenadas polares no plano xy é natural usar x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
  • Na superfície do cone temos então z=r. Assim uma parametrização natural é usar r e \theta como parâmetros.
  • Como estamos no primeiro octante, x\ge0,\\ y\ge0 implica \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • A interseção com z=1 r=1. Como o cone vai do vértice r=0 até essa curva, r varia de 0 a 1.
Portanto os limites dos parâmetros são
r\in[0,1],\qquad \theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Escrever a parametrização e calcular o elemento de área dS.
Parametrização escolhida (vetor posição):
\mathbf{R}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r\big).
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \qquad \frac{\partial\mathbf{R}}{\partial \theta}=(-r\sin\theta,\; r\cos\theta,\;0).
Calcular o produto vetorial \frac{\partial\mathbf{R}}{\partial r}\times\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial \theta}.
Fazendo o determinante componente a componente obtemos
\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial r}\times\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial \theta} = \big(-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r\big).
Agora o módulo desse vetor dá o elemento de área:
\left\lVert\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial r}\times\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial \theta}\right\rVert = \sqrt{(-r\cos\theta)^{2}+(-r\sin\theta)^{2}+r^{2}} = \sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta + r^{2}} = \sqrt{2r^{2}}=r\sqrt{2}.
Portanto
dS = r\sqrt{2}\, dr\, d\theta.
Breve explicação didática: o procedimento acima é padrão para integrar sobre uma superfície parametrizada \mathbf{R}(u,v): o elemento de área é \left\lVert \mathbf{R}_u\times\mathbf{R}_v\right\rVert du\,dv. Aqui u=r e v=\theta.

Passo 4

Expressar a função integranda em termos dos parâmetros e montar a integral.
Na parametrização temos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=r.
Logo
x y z = (r\cos\theta)(r\sin\theta)(r)=r^{3}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo elemento de área:
x y z \, dS = r^{3}\cos\theta\sin\theta \cdot (r\sqrt{2}\, dr\, d\theta) = \sqrt{2}\, r^{4}\cos\theta\sin\theta \, dr\, d\theta.
Assim a integral pedida fica
\iint_{S} x y z \, dS = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \sqrt{2}\, r^{4}\cos\theta\sin\theta \, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral dupla separando variáveis e efetuando as integrais.
A função é produto de uma parte só em r e outra só em \theta, então separamos:
\iint_{S} x y z \, dS = \sqrt{2}\left(\int_{r=0}^{1} r^{4}\, dr\right)\left(\int_{\theta=0}^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\, d\theta\right).
Calcular cada integral:
  1. Integral em r:
\int_{0}^{1} r^{4}\, dr = \left[\dfrac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{5}.
  1. Integral em \theta:
    usar a primitiva \int \cos\theta\sin\theta\, d\theta = \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta, então
\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\, d\theta = \left[\tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}(1-0)=\tfrac{1}{2}.
Multiplicando tudo:
\iint_{S} x y z \, dS = \sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{10}.
Pequena motivação final: a separação funcionou porque a dependência angular é simples ( \cos\theta\sin\theta) e o resto depende só de r; sempre que a parametrização e a função separam assim a integral fica bem direta.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{10}

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