Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3, resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
\begin{aligned} & \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x \cdot\left(\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}\right)=\frac{\left|9 x^{2}+x\right|-9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}= \\\ & \frac{x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}=\frac{1}{\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{x}}=\frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3} & \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3}=\frac{1}{\sqrt{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(9+x^{-1}\right)}+3}= & \frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{6} \end{aligned}
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2}-2}}{x+3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5x^{2}-2}}{x+3}.
Informações dadas que vamos usar: temos uma raiz quadrada envolvendo x^{2} no numerador e um termo linear x+3 no denominador; o limite é quando x tende para +\infty (ou seja, x é grande e positivo). Não vamos assumir nada além disso.

Passo 2

Ideia principal (técnica de “extrair a variável das raízes”): quando aparece \sqrt{5x^{2}-2} podemos fatorar x^{2} de dentro da raiz para “tirar” um x fora da raiz. Lembre que, em geral,
\sqrt{x^{2}}=|x|.
Como estamos fazendo x\to+\infty, para x grande vale |x|=x. Então podemos escrever:
\sqrt{5x^{2}-2}=\sqrt{x^{2}\left(5-\frac{2}{x^{2}}\right)}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{5-\frac{2}{x^{2}}}=x\sqrt{5-\frac{2}{x^{2}}}.
Expliquei cada passo: tirei x^{2} como fator comum dentro da raiz, usei \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} e substituí \sqrt{x^{2}} por x porque x>0 para x\to+\infty.

Passo 3

Substituindo essa expressão no quociente original obtemos
\frac{\sqrt{5x^{2}-2}}{x+3}=\frac{x\sqrt{5-\frac{2}{x^{2}}}}{x+3}.
Agora simplificamos dividindo numerador e denominador por x (isso é permitido para x\neq0, e aqui consideramos x grande):
\frac{x\sqrt{5-\frac{2}{x^{2}}}}{x+3}=\frac{\sqrt{5-\frac{2}{x^{2}}}}{1+\frac{3}{x}}.
Esse passo é importante porque transforma a expressão em termos que têm limites fáceis quando x\to+\infty (os termos com 1/x ou 1/x^{2} tendem a zero).

Passo 4

Agora vamos tomar o limite de cada parte. Observe que quando x\to+\infty temos \frac{2}{x^{2}}\to 0 e \frac{3}{x}\to 0. A função raiz quadrada é contínua nas suas entradas positivas, então podemos passar o limite para dentro da raiz:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{5-\frac{2}{x^{2}}}=\sqrt{\lim_{x\to+\infty}\left(5-\frac{2}{x^{2}}\right)}=\sqrt{5-0}=\sqrt{5}.
E claramente
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)=1+0=1.

Passo 5

Com esses resultados, pelo quociente que obtivemos no Passo 3, o limite total é
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5-\frac{2}{x^{2}}}}{1+\frac{3}{x}}=\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}.
Intuitivamente: para x muito grande o termo -2 dentro da raiz e o +3 no denominador viram detalhes insignificantes, e a expressão se comporta como \dfrac{\sqrt{5}\,x}{x}=\sqrt{5}.

Passo 6

Resumo do método (pra você lembrar na prova): sempre que tiver \sqrt{ax^{2}+(\text{termos menores})} com x\to\pm\infty, extraia |x| da raiz para reduzir a expressão a algo do tipo \dfrac{|x|\sqrt{a+\cdots}}{x(1+\cdots)}. Para x\to+\infty isso vira x e aí você divide por x, ficando com quantidades com 1/x que vão a zero — daí o limite cai fácil.

Resposta

\sqrt{5}

Exercícios relacionados