Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3, resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
Informações dadas que vamos usar: temos uma raiz quadrada envolvendo x^{2} no numerador e um termo linear x+3 no denominador; o limite é quando x tende para +\infty (ou seja, x é grande e positivo). Não vamos assumir nada além disso.
Passo 2
Ideia principal (técnica de “extrair a variável das raízes”): quando aparece \sqrt{5x^{2}-2} podemos fatorar x^{2} de dentro da raiz para “tirar” um x fora da raiz. Lembre que, em geral,
\sqrt{x^{2}}=|x|.
Como estamos fazendo x\to+\infty, para x grande vale |x|=x. Então podemos escrever:
Expliquei cada passo: tirei x^{2} como fator comum dentro da raiz, usei \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} e substituí \sqrt{x^{2}} por x porque x>0 para x\to+\infty.
Passo 3
Substituindo essa expressão no quociente original obtemos
Esse passo é importante porque transforma a expressão em termos que têm limites fáceis quando x\to+\infty (os termos com 1/x ou 1/x^{2} tendem a zero).
Passo 4
Agora vamos tomar o limite de cada parte. Observe que quando x\to+\infty temos \frac{2}{x^{2}}\to 0 e \frac{3}{x}\to 0. A função raiz quadrada é contínua nas suas entradas positivas, então podemos passar o limite para dentro da raiz:
Intuitivamente: para x muito grande o termo -2 dentro da raiz e o +3 no denominador viram detalhes insignificantes, e a expressão se comporta como \dfrac{\sqrt{5}\,x}{x}=\sqrt{5}.
Passo 6
Resumo do método (pra você lembrar na prova): sempre que tiver \sqrt{ax^{2}+(\text{termos menores})} com x\to\pm\infty, extraia |x| da raiz para reduzir a expressão a algo do tipo \dfrac{|x|\sqrt{a+\cdots}}{x(1+\cdots)}. Para x\to+\infty isso vira x e aí você divide por x, ficando com quantidades com 1/x que vão a zero — daí o limite cai fácil.