Questão 1 (2,5 pontos)
Um sistema massa-mola é formado por um bloco de massa igual a 0.2 kg e uma mola de constante elástica igual a
. No instante inicial o bloco está passando pela origem com velocidade de
.
a)
Calcule o período de oscilação do bloco.
b)
Escreva a função posição do bloco
.
c)
Faça um gráfico da posição em função do tempo. (Basta utilizar um período, indicar o período e a amplitude nos eixos)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola com as seguintes informações (peguei todos estes dados do enunciado):
- Massa:
. - Constante elástica da mola:
. - No instante inicial (isto é,
) o bloco passa pela origem: . - Velocidade inicial:
.
O enunciado pede:
(a) Calcular o período de oscilação do bloco.
(b) Escrever a função posição .
(c) Fazer um gráfico de em função de
usando um período, indicando no gráfico o período e a amplitude.
(a) Calcular o período de oscilação do bloco.
(b) Escrever a função posição
(c) Fazer um gráfico de
Passo 2
Conceito e fórmula do período de um oscilador harmônico simples (controle mental antes de calcular).
- Para um sistema massa-mola sem amortecimento, as oscilações são harmônicas simples com frequência angular
dada por
Aqui
tem dimensão de rad/s,
é a constante da mola (N/m) e
é a massa (kg).
- O período
(tempo de uma oscilação completa) está relacionado a por
Isso vem da relação entre período e frequência angular: uma volta completa em radianos é
.
Agora calculo
e
com os números do enunciado:
Valor numérico aproximado:
Passo 3
Forma geral da solução e significado das constantes.
- A posição no MHS pode ser escrita em forma trigonométrica como
onde:
-
é a amplitude (magnitude máxima do deslocamento), . -
é a frequência angular (rad/s) já calculada. -
é a fase inicial (rad), ajustada pelas condições iniciais. - A velocidade associada é a derivada:
Para encontrar
e
usamos as condições iniciais
e
.
Passo 4
Aplicando as condições iniciais para achar
e
.
- Da condição
:
Como queremos
, não assumimos
porque aí a velocidade inicial não seria
. Logo
, o que implica
- Use a condição de velocidade
. Pela fórmula,
Substituindo
:
Agora testamos os possíveis valores de
compatíveis com
:
- Se
então e a equação dá . - Se
então e a equação daria , o que contradiz .
Portanto a escolha física consistente é
Passo 5
Escrever a função
de forma simples e verificar rapidamente.
- A solução com os valores encontrados é
- Podemos usar a identidade trigonométrica
para simplificar:
- Verificação rápida das condições iniciais:
-
OK. -
. Assim OK.
-
Passo 6
Como fazer o gráfico de
em função do tempo para um período (instruções e pontos-chave).
- Usar o intervalo
com . - Amplitude:
. No eixo vertical marque e . - Pontos notáveis (calculei usando
): -
: . -
: (mínimo). -
: . -
: (máximo). -
: .
-
- Desenho (como fazer na prova): trace uma senoide que parte de 0 em
, desce até em , volta a zero em , sobe até em e fecha o período em . No eixo horizontal marque e no vertical marque .
Resposta
(a)
(b) (equivalentemente
)
(c) Gráfico: senoide em com amplitude
e período
; pontos notáveis:
,
,
,
,
.
(b)
(c) Gráfico: senoide em