Questão 1 (2,5 pontos)

Um sistema massa-mola é formado por um bloco de massa igual a 0.2 kg e uma mola de constante elástica igual a 5,00 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. No instante inicial o bloco está passando pela origem com velocidade de -0.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) (0,5) Calcule o período de oscilação do bloco.
b) (1,5) Escreva a função posição do bloco x(t).
c) (0,5) Faça um gráfico da posição em função do tempo. (Basta utilizar um período, indicar o período e a amplitude nos eixos)

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola com as seguintes informações (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Massa: m=0,2\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=5{,}00\\ \mathrm{N/m}.
  • No instante inicial (isto é, t=0) o bloco passa pela origem: x(0)=0.
  • Velocidade inicial: v(0)=-0{,}8\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) Calcular o período de oscilação do bloco.
(b) Escrever a função posição x(t).
(c) Fazer um gráfico de x em função de t usando um período, indicando no gráfico o período e a amplitude.

Passo 2

Conceito e fórmula do período de um oscilador harmônico simples (controle mental antes de calcular).
  • Para um sistema massa-mola sem amortecimento, as oscilações são harmônicas simples com frequência angular \omega dada por
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Aqui \omega tem dimensão de rad/s, k é a constante da mola (N/m) e m é a massa (kg).
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) está relacionado a \omega por
T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Isso vem da relação entre período e frequência angular: uma volta completa em radianos é 2\pi.
Agora calculo \omega e T com os números do enunciado:
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{5{,}00}{0{,}2}}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{rad/s}.
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{5}.
Valor numérico aproximado:
T=\dfrac{2\pi}{5}\approx1{,}257\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Forma geral da solução e significado das constantes.
  • A posição no MHS pode ser escrita em forma trigonométrica como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (magnitude máxima do deslocamento), A\ge0.
  • \omega é a frequência angular (rad/s) já calculada.
  • \varphi é a fase inicial (rad), ajustada pelas condições iniciais.
  • A velocidade associada é a derivada:
v(t)=\dfrac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Para encontrar A e \varphi usamos as condições iniciais x(0) e v(0).

Passo 4

Aplicando as condições iniciais para achar A e \varphi.
  • Da condição x(0)=0:
x(0)=A\cos(\varphi)=0 \quad\Rightarrow\quad A\cos(\varphi)=0.
Como queremos A\ge0, não assumimos A=0 porque aí a velocidade inicial não seria -0{,}8. Logo \cos(\varphi)=0, o que implica
\varphi=\pm\dfrac{\pi}{2}+n\pi.
  • Use a condição de velocidade v(0)=-0{,}8\\ \mathrm{m/s}. Pela fórmula,
v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=-0{,}8.
Substituindo \omega=5\\ \mathrm{rad/s}:
-5A\sin(\varphi)=-0{,}8 \quad\Rightarrow\quad A\sin(\varphi)=0{,}16.
Agora testamos os possíveis valores de \varphi compatíveis com \cos\varphi=0:
  • Se \varphi=\dfrac{\pi}{2} então \sin(\varphi)=1 e a equação dá A\cdot1=0{,}16\Rightarrow A=0{,}16\\ \mathrm{m}.
  • Se \varphi=-\dfrac{\pi}{2} então \sin(\varphi)=-1 e a equação daria A\cdot(-1)=0{,}16\Rightarrow A=-0{,}16, o que contradiz A\ge0.
    Portanto a escolha física consistente é
\varphi=\dfrac{\pi}{2},\qquad A=0{,}16\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Escrever a função x(t) de forma simples e verificar rapidamente.
  • A solução com os valores encontrados é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)=0{,}16\cos\!\bigl(5t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
  • Podemos usar a identidade trigonométrica \cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\sin\theta para simplificar:
x(t)=-0{,}16\sin(5t).
  • Verificação rápida das condições iniciais:
    • x(0)=-0{,}16\sin(0)=0 OK.
    • v(t)=\dfrac{dx}{dt}=-0{,}16\cdot5\cos(5t)=-0{,}8\cos(5t). Assim v(0)=-0{,}8\cos0=-0{,}8 OK.

Passo 6

Como fazer o gráfico de x(t) em função do tempo para um período (instruções e pontos-chave).
  • Usar o intervalo 0\le t\le T com T=\dfrac{2\pi}{5}\approx1{,}257\\ \mathrm{s}.
  • Amplitude: \pm A=\pm0{,}16\\ \mathrm{m}. No eixo vertical marque x=+0{,}16 e x=-0{,}16.
  • Pontos notáveis (calculei usando x(t)=-0{,}16\sin(5t)):
    • t=0: x(0)=0.
    • t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{10}\approx0{,}314\\ \mathrm{s}: x\bigl(\tfrac{T}{4}\bigr)=-0{,}16 (mínimo).
    • t=\dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi}{5}\approx0{,}628\\ \mathrm{s}: x\bigl(\tfrac{T}{2}\bigr)=0.
    • t=\dfrac{3T}{4}=\dfrac{3\pi}{10}\approx0{,}942\\ \mathrm{s}: x\bigl(\tfrac{3T}{4}\bigr)=+0{,}16 (máximo).
    • t=T\approx1{,}257\\ \mathrm{s}: x(T)=0.
  • Desenho (como fazer na prova): trace uma senoide que parte de 0 em t=0, desce até -0{,}16 em t\approx0{,}314\\ \mathrm{s}, volta a zero em t\approx0{,}628\\ \mathrm{s}, sobe até +0{,}16 em t\approx0{,}942\\ \mathrm{s} e fecha o período em t\approx1{,}257\\ \mathrm{s}. No eixo horizontal marque T e no vertical marque A.

Resposta

(a) T=\dfrac{2\pi}{5}\approx1{,}257\\ \mathrm{s}
(b) x(t)=-0{,}16\sin(5t) (equivalentemente x(t)=0{,}16\cos(5t+\tfrac{\pi}{2}))
(c) Gráfico: senoide em 0\le t\le T com amplitude 0{,}16\\ \mathrm{m} e período T=\dfrac{2\pi}{5}\approx1{,}257\\ \mathrm{s}; pontos notáveis: x(0)=0, x(T/4)=-0{,}16\\ \mathrm{m}, x(T/2)=0, x(3T/4)=+0{,}16\\ \mathrm{m}, x(T)=0.

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