Calcular a área limitada pela curva dada:
r=2 a \operatorname{sen} \theta ;-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=2a\sin\theta,\qquad -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2},
onde a é uma constante positiva (presumidamente). A pergunta é: calcular a área limitada por essa curva.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação polar da curva é r(\theta)=2a\sin\theta.
  • O intervalo do ângulo é \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
  • Deve-se encontrar a área da região limitada por essa curva.

Passo 2

Explicando a fórmula de área em coordenadas polares (mini-aula): para uma curva dada por r=r(\theta) que, ao variar \theta de \alpha até \beta, descreve uma região sem auto-interseções relevantes, a área dessa região é obtida somando áreas de fatias angulares elementares. A área de um setor circular de raio r e ângulo diferencial d\theta é aproximadamente \dfrac{1}{2}r^2\,d\theta. Integrando essas fatias obtemos a fórmula padrão
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^2\,d\theta.
Aqui:
  • A é a área buscada,
  • r(\theta) é o raio em função do ângulo \theta,
  • \alpha e \beta são os limites angulares (aqui -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: substituir r(\theta)=2a\sin\theta na fórmula da área. Temos
A=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(2a\sin\theta\bigr)^2\,d\theta.
Simplificando o integrando:
\bigl(2a\sin\theta\bigr)^2 = 4a^2\sin^2\theta,
portanto
A=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}4a^2\sin^2\theta\,d\theta.

Passo 4

Fatorando constantes para fora da integral:
A=2a^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\,d\theta.
Agora vamos explicar como integrar \sin^2\theta. Use a identidade trigonométrica de redução:
\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Essa identidade é útil porque transforma a função quadrática em uma soma de constantes e cosseno de dupla frequência, fácil de integrar.

Passo 5

Substituindo a identidade na integral:
A=2a^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = a^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Agora separamos em duas integrais:
A=a^2\left[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta \;-\; \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2\theta)\,d\theta\right].

Passo 6

Calcule cada integral:
  • A primeira é trivial:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta = \left.\theta\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi.
  • A segunda integral: \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2\theta)\,d\theta. Como \cos(2\theta) é uma função par, a integral sobre um intervalo simétrico pode ser calculada diretamente:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2\theta)\,d\theta = \left.\frac{\sin(2\theta)}{2}\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}.
Agora avaliaremos os limites: \sin(2\cdot\frac{\pi}{2})=\sin\pi=0 e \sin(2\cdot(-\frac{\pi}{2}))=\sin(-\pi)=0. Portanto a segunda integral vale 0.

Passo 7

Substituindo os resultados no passo anterior:
A=a^2\bigl(\pi - 0\bigr)=\pi a^2.
Comentário interpretativo (checo rápido): essa área é a mesma da área de um círculo de raio a, o que faz sentido porque a curva \,r=2a\sin\theta, representa o círculo de equação cartesiana x^2+(y-a)^2=a^2, ou seja, um círculo de raio a centrado em (0,a).

Resposta

\pi a^{2}

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