onde a é uma constante positiva (presumidamente). A pergunta é: calcular a área limitada por essa curva.
Informações relevantes fornecidas:
A equação polar da curva é r(\theta)=2a\sin\theta.
O intervalo do ângulo é \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Deve-se encontrar a área da região limitada por essa curva.
Passo 2
Explicando a fórmula de área em coordenadas polares (mini-aula): para uma curva dada por r=r(\theta) que, ao variar \theta de \alpha até \beta, descreve uma região sem auto-interseções relevantes, a área dessa região é obtida somando áreas de fatias angulares elementares. A área de um setor circular de raio r e ângulo diferencial d\theta é aproximadamente \dfrac{1}{2}r^2\,d\theta. Integrando essas fatias obtemos a fórmula padrão
A segunda integral: \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2\theta)\,d\theta. Como \cos(2\theta) é uma função par, a integral sobre um intervalo simétrico pode ser calculada diretamente:
Agora avaliaremos os limites: \sin(2\cdot\frac{\pi}{2})=\sin\pi=0 e \sin(2\cdot(-\frac{\pi}{2}))=\sin(-\pi)=0. Portanto a segunda integral vale 0.
Passo 7
Substituindo os resultados no passo anterior:
A=a^2\bigl(\pi - 0\bigr)=\pi a^2.
Comentário interpretativo (checo rápido): essa área é a mesma da área de um círculo de raio a, o que faz sentido porque a curva \,r=2a\sin\theta, representa o círculo de equação cartesiana x^2+(y-a)^2=a^2, ou seja, um círculo de raio a centrado em (0,a).