Demarcar o ponto P\left(6, \frac{2 \pi}{3}\right) no sistema de coordenadas polares e encontrar suas coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto em coordenadas polares P\left(6,\\ \dfrac{2\pi}{3}\right) e pede duas coisas:
  • Demarcar o ponto no sistema de coordenadas polares (ou seja, como posicioná-lo no plano).
  • Encontrar as coordenadas cartesianas correspondentes (x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • O raio (distância ao origem) é r=6.
  • O ângulo é \theta=\dfrac{2\pi}{3} radianos (equivalente a 120^\circ).
  • Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Entendendo o significado de r e \theta (para você visualizar bem):
  • \;r é a distância do ponto até a origem. Aqui \;r=6, então o ponto fica a 6 unidades do centro.
  • \;\theta é o ângulo medido a partir do semi-eixo positivo dos x (sentido anti-horário é o convencional). Aqui \;\theta=\dfrac{2\pi}{3}, ou seja 120^\circ, então partimos do eixo positivo x e giramos 120^\circ no sentido anti-horário.
Isso já diz onde demarcar o ponto: girar 120^\circ a partir do eixo x positivo e marcar a distância 6 a partir da origem.

Passo 3

Fórmula de conversão polar → cartesiano (essa é a receita prática que você sempre usa):
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Explicando cada símbolo:
  • \;x é a coordenada horizontal do ponto no sistema cartesiano.
  • \;y é a coordenada vertical do ponto no sistema cartesiano.
  • \;r é o raio dado (distância à origem).
  • \;\theta é o ângulo dado em radianos.
Vamos aplicar essas fórmulas ao nosso r e \theta.

Passo 4

Calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=\dfrac{2\pi}{3}. Use a unidade do círculo trigonométrico e propriedades conhecidas:
  • \dfrac{2\pi}{3} está no quadrante II (entre \dfrac{\pi}{2} e \pi), onde cosseno é negativo e seno é positivo.
  • Relacionando com ângulos notáveis: \dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}. Os valores de referência para \dfrac{\pi}{3} são \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • No quadrante II, \cos\!\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha e \sin\!\left(\pi-\alpha\right)=\sin\alpha. Aplicando com \alpha=\dfrac{\pi}{3}: \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Agora substituímos em x=r\cos\theta e y=r\sin\theta:
x = 6\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 6\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -3,
y = 6\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 6\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3}.
Detalhe da simplificação: 6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6}{2}\sqrt{3}=3\sqrt{3}.

Passo 6

Instrução prática para demarcar o ponto no sistema polar (passo a passo visual):
  1. Parta da origem (ponto (0,0)).
  2. Meça o ângulo \theta=\dfrac{2\pi}{3}=120^\circ no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
  3. Ao longo da semirreta que forma esse ângulo, marque o ponto que está a distância r=6 da origem.
    Como r>0 e \theta no quadrante II, o ponto ficará no quadrante II, mais à esquerda e para cima — isso corresponde às coordenadas cartesianas que encontramos (-3,\\\ 3\sqrt{3}).

Passo 7

Verificação rápida (checar consistência):
  • Distância ao origem: \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-3)^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6, bate com r.
  • Tangente: \dfrac{y}{x}=\dfrac{3\sqrt{3}}{-3}=-\sqrt{3}. O ângulo cuja tangente é -\sqrt{3} é -\dfrac{\pi}{3}, e como estamos em quadrante II o ângulo correspondente é \pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}, bate com \theta.

Resposta

P(-3,\\\ 3\sqrt{3})

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