Demarcar o ponto
no sistema de coordenadas polares e encontrar suas coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado nos dá o ponto em coordenadas polares
e pede duas coisas:
- Demarcar o ponto no sistema de coordenadas polares (ou seja, como posicioná-lo no plano).
- Encontrar as coordenadas cartesianas correspondentes
.
Informações relevantes fornecidas:
- O raio (distância ao origem) é
. - O ângulo é
radianos (equivalente a ). - Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Entendendo o significado de
e
(para você visualizar bem):
-
é a distância do ponto até a origem. Aqui , então o ponto fica a 6 unidades do centro. -
é o ângulo medido a partir do semi-eixo positivo dos (sentido anti-horário é o convencional). Aqui , ou seja , então partimos do eixo positivo e giramos no sentido anti-horário.
Isso já diz onde demarcar o ponto: girar
a partir do eixo
positivo e marcar a distância 6 a partir da origem.
Passo 3
Fórmula de conversão polar → cartesiano (essa é a receita prática que você sempre usa):
Explicando cada símbolo:
-
é a coordenada horizontal do ponto no sistema cartesiano. -
é a coordenada vertical do ponto no sistema cartesiano. -
é o raio dado (distância à origem). -
é o ângulo dado em radianos.
Vamos aplicar essas fórmulas ao nosso
e
.
Passo 4
Calcular
e
para
. Use a unidade do círculo trigonométrico e propriedades conhecidas:
-
está no quadrante II (entre e ), onde cosseno é negativo e seno é positivo. - Relacionando com ângulos notáveis:
. Os valores de referência para são - No quadrante II,
e . Aplicando com :
Passo 5
Agora substituímos em
e
:
Detalhe da simplificação:
.
Passo 6
Instrução prática para demarcar o ponto no sistema polar (passo a passo visual):
- Parta da origem (ponto
). - Meça o ângulo
no sentido anti-horário a partir do eixo positivo. - Ao longo da semirreta que forma esse ângulo, marque o ponto que está a distância
da origem.
Comoe no quadrante II, o ponto ficará no quadrante II, mais à esquerda e para cima — isso corresponde às coordenadas cartesianas que encontramos .
Passo 7
Verificação rápida (checar consistência):
- Distância ao origem:
, bate com . - Tangente:
. O ângulo cuja tangente é é , e como estamos em quadrante II o ângulo correspondente é , bate com .