Questão ( 2,0 pontos)- Suponha que um gás ideal a 400 K e 250 kPa esteja enclausurado num cilindro por um pistão sem atrito, e que o gás force lentamente o pistão, tal que o volume de gás se expanda de 0,1 para 0,3 \mathrm{~m}^{3}. Calcule o trabalho exercido pelo gás sobre o pistão (que é a única parte da fronteira das vizinhanças que se move) se duas trajetórias diferentes forem tomadas para ir do estado inicial para o estado final:
Caminho A: a expansão ocorre à pressão constante ( \mathrm{p}=250 \mathrm{kPa} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara, sem resolver nada ainda):
  • Temperatura inicial do gás: T=400\\ \text{K} (informação dada, mas não necessária para o cálculo do trabalho neste caminho).
  • Pressão durante a expansão no Caminho A: p=250\\ \text{kPa} (constante).
  • Volume inicial: V_i=0{,}1\\ \text{m}^3.
  • Volume final: V_f=0{,}3\\ \text{m}^3.
  • O pistão é sem atrito e o gás força o pistão lentamente — isso indica um processo quase-estático (a pressão do gás acompanha a pressão externa).
    O que se pede: calcular o trabalho exercido pelo gás sobre o pistão para esse caminho (expansão isobárica).

Passo 2

Conceito de trabalho (fórmula básica) para um gás que empurra um pistão:
  • Em termodinâmica o trabalho realizado pelo gás ao deslocar uma fronteira móvel (o pistão) pode ser escrito como
W=\int_{V_i}^{V_f} p_{\text{ext}}\,dV,
onde:
  • W é o trabalho realizado pelo sistema (gás) sobre as vizinhanças,
  • p_{\text{ext}} é a pressão externa que age sobre o pistão (em um processo quase-estático podemos igualar p_{\text{ext}} à pressão do gás),
  • V é o volume do gás e dV é um incremento desse volume.
  • Sinal e interpretação: quando o gás se expande dV>0 e, portanto, W>0 (o gás faz trabalho sobre o pistão). A expressão acima calcula o trabalho feito pelo gás.

Passo 3

Aplicação ao caso isobárico (pressão constante):
  • Se a pressão é constante durante todo o processo, podemos tirar p fora da integral:
W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV = p\,(V_f-V_i).
  • Explicando as variáveis nessa fórmula:
    • p é a pressão constante durante a expansão (aqui p=250\\ \text{kPa}),
    • V_f é o volume final ( 0{,}3\\ \text{m}^3),
    • V_i é o volume inicial ( 0{,}1\\ \text{m}^3).

Passo 4

Converter unidades e calcular:
  • Converter a pressão para unidades do Sistema Internacional: 1\\ \text{kPa}=10^{3}\\ \text{Pa}. Logo
p=250\\ \text{kPa}=250\times10^{3}\\ \text{Pa}=250{,}000\\ \text{Pa}.
  • Calcular a variação de volume:
\Delta V=V_f-V_i=0{,}3-0{,}1=0{,}2\\ \text{m}^3.
  • Substituir na fórmula W=p\,\Delta V:
W = 250{,}000\\ \text{Pa}\times 0{,}2\\ \text{m}^3.
  • Fazer a multiplicação passo a passo:
250{,}000\times 0{,}2 = 250{,}000\times \frac{2}{10} = 25{,}000\times 2 = 50{,}000.
  • Portanto o trabalho é
W=50{,}000\\ \text{J}.
  • Em unidades mais usuais, isso equivale a 50\\ \text{kJ} (pois 1\\ \text{kJ}=10^{3}\\ \text{J}).

Passo 5

Cheque rápido e comentário final (para você levar para a prova):
  • Unidade: \text{Pa}\cdot\text{m}^3 = \text{N/m}^2\cdot\text{m}^3 = \text{N}\cdot\text{m} = \text{J}, então o resultado em joules faz sentido.
  • Observação pedagógica: a temperatura T não foi usada no cálculo do trabalho porque, para o trabalho em processo isobárico, só importam p e \Delta V. Em outros caminhos (não-isobáricos) seria preciso integrar p(V) ou conhecer a relação entre p e V.
  • Força extra de ânimo: isso aqui é clássico — memoriza W=\int p\,dV e, em isobárico, W=p\Delta V. Vai dar certo na prova!

Resposta

W=50{,}000\\ \text{J}=50\\ \text{kJ}

Exercícios relacionados