3{ }^{\text {a }} Questão (2,0 pontos) Uma mistura composta de \mathrm{N}_{2}(40 \%) e \mathrm{CO}_{2}(60 \%) é aquecida a pressão constante da temperatura de 300 K até a temperatura de 650 K . Calcule a variação de entalpia para o aquecimento de 6 kmol da mistura.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entalpia ao aquecer uma mistura gasosa de \mathrm{N}_2 e \mathrm{CO}_2 a pressão constante, de 300\\ \mathrm{K} até 650\\ \mathrm{K}, para uma quantidade total de 6\\ \mathrm{kmol}. Dados fornecidos:
  • frações molares (porcentagens molares): \mathrm{N}_2 = 40\%, \mathrm{CO}_2 = 60\%;
  • temperatura inicial T_1 = 300\\ \mathrm{K};
  • temperatura final T_2 = 650\\ \mathrm{K};
  • quantidade total n_\text{tot} = 6\\ \mathrm{kmol}.
O que se pede: calcular \Delta H (variação de entalpia) da mistura ao aquecimento de T_1 para T_2.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para um gás ideal, a entalpia molar depende da temperatura e a variação de entalpia ao aquecer de T_1 a T_2 é
\Delta H = n_\text{tot}\int_{T_1}^{T_2} \bar{C}_{p,\text{mix}}(T)\,dT,
onde \bar{C}_{p,\text{mix}}(T) é a capacidade calorífica molar da mistura a pressão constante, em função de T.
  • Se aproximarmos \bar{C}_{p,\text{mix}}(T) por uma constante média (aproximação usual quando não se fornece tabela detalhada), então a integral simplifica para
\Delta H = n_\text{tot}\,\bar{C}_{p,\text{mix}}\,\Delta T,
com \Delta T = T_2 - T_1.
  • A capacidade calorífica molar da mistura, assumindo comportamento ideal e média molar constante, é a média ponderada pelas frações molares:
\bar{C}_{p,\text{mix}} = \sum_i y_i\,\bar{C}_{p,i},
onde y_i é a fração molar da espécie i e \bar{C}_{p,i} é a capacidade calorífica molar da espécie i (unidade típica: \mathrm{J/(mol\cdot K)} ou, equivalentemente, \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}).
Explicando termos:
  • n_\text{tot}: número total de mols (aqui em \mathrm{kmol});
  • y_i: fração molar da espécie i (adimensional);
  • \bar{C}_{p,i}: capacidade calorífica molar a pressão constante da espécie i (valor médio adotado, ver próximo passo);
  • \Delta T: diferença de temperaturas em \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular as frações molares a partir das porcentagens dadas:
y_{\mathrm{N}_2}=0{,}40,\qquad y_{\mathrm{CO}_2}=0{,}60.

Passo 4

Escolha de valores de \bar{C}_{p} e justificativa:
  • Sem tabela de \bar{C}_p(T) fornecida, adota-se a aproximação de capacidades molares constantes iguais a valores tabelados próximos a 300\\ \mathrm{K}. Esses valores são comumente usados em exercícios elementares e servem como boa aproximação para cálculos rápidos.
  • Valores escolhidos (valores típicos de tabela):
\bar{C}_{p,\mathrm{N}_2}=29{,}0\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\qquad \bar{C}_{p,\mathrm{CO}_2}=37{,}1\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Observação de unidade: 1\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} = 1\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}, portanto os números podem ser usados diretamente quando n está em \mathrm{kmol}.

Passo 5

Calcular a capacidade calorífica molar média da mistura:
\bar{C}_{p,\text{mix}} = y_{\mathrm{N}_2}\,\bar{C}_{p,\mathrm{N}_2} + y_{\mathrm{CO}_2}\,\bar{C}_{p,\mathrm{CO}_2}.
Substituindo números:
\bar{C}_{p,\text{mix}} = 0{,}40\cdot29{,}0 + 0{,}60\cdot37{,}1 = 11{,}6 + 22{,}26 = 33{,}86\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Como explicado, usa-se também a unidade \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}: \bar{C}_{p,\text{mix}}=33{,}86\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}.

Passo 6

Calcular \Delta T e então \Delta H usando a fórmula para C_p constante:
\Delta T = T_2 - T_1 = 650 - 300 = 350\\ \mathrm{K}.
\Delta H = n_\text{tot}\,\bar{C}_{p,\text{mix}}\,\Delta T.
Substituindo n_\text{tot}=6\\ \mathrm{kmol}, \bar{C}_{p,\text{mix}}=33{,}86\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)} e \Delta T=350\\ \mathrm{K}:
\Delta H = 6\cdot 33{,}86\cdot 350.
Fazendo as contas passo a passo:
33{,}86\cdot350 = 33{,}86\cdot(300+50)=33{,}86\cdot300 + 33{,}86\cdot50 = 10\,158 + 1\,693 = 11\,851\\ \mathrm{kJ/(kmol)}.
\Delta H = 6\cdot 11\,851 = 71\,106\\ \mathrm{kJ} = 71{,}106\\ \mathrm{MJ}.
Interpretação: como o sistema foi aquecido, \Delta H é positivo.

Passo 7

Observações finais (dicas para a prova e para melhorar precisão):
  • Se for exigida maior precisão, haveria que usar \bar{C}_{p,i}(T) dependente de T e calcular
\Delta H = n_\text{tot}\sum_i y_i \int_{T_1}^{T_2} \bar{C}_{p,i}(T)\,dT,
usando polinômios ou tabelas para \bar{C}_{p,i}(T). Isso requer tabela ou coeficientes (mais trabalhoso).
  • Aqui a aproximação por C_p constante é a abordagem mais prática em prova quando não são dadas tabelas ou expressões de C_p(T).
  • Ânimo: a receita para esses exercícios é sempre a mesma — calcular frações molares, média ponderada de C_p e aplicar \Delta H = n C_p \Delta T (quando C_p for tratado como constante).

Resposta

\Delta H = 71{,}106\\ \mathrm{kJ}

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