Questão 4. (2,5 pontos)
A tabela a seguir representa a quantidade de bactérias (em milhares) observadas após t horas:
t(\mathrm{~h}) 0 1 2 3
N(t) 1,0 2,7 7,4 20,1
a) Suponha que o crescimento siga um modelo exponencial da forma N(t)=a e^{b t}. Transforme a equação para aplicar o método dos mínimos quadrados.
b) Ajuste os parâmetros a e b com base nos dados.
c) Estime a quantidade de bactérias no instante t=2,5 horas.

Passo 1

O enunciado dá a observação de N(t) (em milhares) em instantes t=0,1,2,3 e pede ajuste por um modelo exponencial
N(t)=a\,e^{b\,t}.
O conteúdo aqui é regressão exponencial via transformação logarítmica e mínimos quadrados. Para isso, vamos:
  1. linearizar tomando logaritmo natural;
  2. aplicar Fórmulas de mínimos quadrados em \bigl(t_i,y_i\bigr) com y_i=\ln N(t_i);
  3. calcular a e b;
  4. estimar N(2,5).

Passo 2

Tomando logaritmo natural em N(t)=a\,e^{b\,t} obtemos
\ln N(t) = \ln a + b\,t.
Defina y_i=\ln N(t_i). O problema reduz-se a ajustar uma reta
y = \alpha + b\,t,
com \alpha=\ln a, pelos pontos (t_i,y_i).

Passo 3

Monte a tabela e calcule as somas necessárias:
\begin{array}{c|cccc} t_i & 0 & 1 & 2 & 3\\hline N(t_i) & 1,0 & 2,7 & 7,4 & 20,1\\\ y_i=\ln N(t_i) & 0 & 0,9933 & 2,0015 & 2,999\, \end{array}
Calcule
\sum t_i = 6,\quad \sum t_i^2 = 14,\quad \sum y_i = 5,9948,\quad \sum t_i\,y_i = 13,9963,
e n=4.

Passo 4

Use as fórmulas de mínimos quadrados para reta:
b = \frac{n\sum t_i y_i - \sum t_i\,\sum y_i} {n\sum t_i^2 -\bigl(\sum t_i\bigr)^2} ,\qquad \alpha = \bar y - b\,\bar t,
onde \bar t=\frac{\sum t_i}{n} e \bar y=\frac{\sum y_i}{n}. Substituindo,
b = \frac{4\cdot13,9963 - 6\cdot5,9948}{4\cdot14 - 6^2} = \frac{20,0164}{20} = 1,0008,
\bar t = \frac{6}{4}=1,5,\quad \bar y=\frac{5,9948}{4}=1,4987,
\alpha = 1,4987 - 1,0008\cdot1,5 = -0,0025.
Logo,
a = e^\alpha = e^{-0,0025} \approx 0,9975.

Passo 5

O modelo ajustado é
N(t) \approx 0,9975\,e^{1,0008\,t}.
Para t=2,5:
N(2,5) \approx 0,9975\,e^{1,0008\cdot2,5} =0,9975\,e^{2,502} \approx 0,9975\cdot12,21 \approx 12,18
(isto é, cerca de 12{,}2 milhares de bactérias).

Resposta

a) Transformamos por \ln N = \ln a + b\,t.
b) Obtivemos a\approx0,9975 e b\approx1,0008.
c) N(2,5)\approx12{,}2 milhares.

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