Questão 4. (2,5 pontos)
A tabela a seguir representa a quantidade de bactérias (em milhares) observadas após
horas:
0
1
2
3
1,0
2,7
7,4
20,1
a) Suponha que o crescimento siga um modelo exponencial da forma
. Transforme a equação para aplicar o método dos mínimos quadrados.
b) Ajuste os parâmetros
e
com base nos dados.
c) Estime a quantidade de bactérias no instante
horas.
A tabela a seguir representa a quantidade de bactérias (em milhares) observadas após
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
1,0 | 2,7 | 7,4 | 20,1 |
b) Ajuste os parâmetros
c) Estime a quantidade de bactérias no instante
Passo 1
O enunciado dá a observação de
(em milhares) em instantes
e pede ajuste por um modelo exponencial
O conteúdo aqui é regressão exponencial via transformação logarítmica e mínimos quadrados. Para isso, vamos:
- linearizar tomando logaritmo natural;
- aplicar Fórmulas de mínimos quadrados em
com ; - calcular
e ; - estimar
.
Passo 2
Tomando logaritmo natural em
obtemos
Defina
. O problema reduz-se a ajustar uma reta
com
, pelos pontos
.
Passo 3
Monte a tabela e calcule as somas necessárias:
Calcule
e
.
Passo 4
Use as fórmulas de mínimos quadrados para reta:
onde
e
. Substituindo,
Logo,
Passo 5
O modelo ajustado é
Para
:
(isto é, cerca de
milhares de bactérias).
Resposta
a) Transformamos por
.
b) Obtivemos e
.
c) milhares.
b) Obtivemos
c)