Questão 1 (2 pontos) A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto P=(1,2,-2) é 126^{\circ} C.
a) Determine a função temperatura na bola de metal.
b) Calcule a taxa de variação de T no ponto P=(1,2,-2) em direção ao ponto Q=(3,5,4).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações dadas:
    • A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem.
    • A temperatura no ponto P=(1,2,-2) é 126^\circ\text{C}.
  • Perguntas:
    a) Determine a função temperatura na bola de metal (ou seja, encontre T(x,y,z)).
    b) Calcule a taxa de variação de T no ponto P=(1,2,-2) na direção do ponto Q=(3,5,4).

Passo 2

Entendendo “inversamente proporcional à distância do centro”: isso significa que existe uma constante k tal que a temperatura T depende da distância r ao centro por
T = \frac{k}{r}.
Aqui r é a distância do ponto (x,y,z) até a origem, isto é
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Explicando: “inversamente proporcional” quer dizer que se a distância dobra, a temperatura vira metade, etc. A constante k é um número fixo que ajusta a escala da temperatura.

Passo 3

Usamos a informação numérica em P para achar k. Primeiro calculamos a distância de P à origem:
r_{P}=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Como T(P)=126^\circ\text{C} e T(P)=k/r_{P}, temos
126=\frac{k}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 3,
k=126\cdot 3=378.

Passo 4

Substituindo k e r na fórmula, obtemos a função temperatura para qualquer ponto (x,y,z) (exceto na origem, onde a distância é zero):
T(x,y,z)=\frac{378}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Interpretando: para cada ponto na bola (fora da origem) calculo sua distância ao centro e coloco na fórmula acima.

Passo 5

Para calcular a taxa de variação de T no ponto P na direção do ponto Q, precisamos da direção unitária que vai de P para Q. Primeiro a direção (vetor) é
\vec{v}=Q-P=(3-1,\;5-2,\;4-(-2))=(2,3,6).
A norma de \vec{v} é
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7.
Portanto o vetor unitário na direção de Q é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right).
Explicando: para medir taxa de variação na direção entre dois pontos usa-se o vetor unitário, porque queremos a taxa por unidade de distância nessa direção.

Passo 6

A taxa de variação direcional de uma função escalar T(x,y,z) na direção unitária \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente de T e \vec{u}:
D_{\vec{u}}T=\nabla T\cdot \vec{u}.
Agora vamos calcular \nabla T. Temos
T(x,y,z)=378\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}.
Usando regra da cadeia e derivadas parciais, para cada componente:
\frac{\partial T}{\partial x}=378\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -378\frac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Analogamente para y e z. Portanto o gradiente pode ser escrito de forma compacta:
\nabla T(x,y,z) = -378\frac{(x,y,z)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Explicando: o gradiente aponta na direção de maior aumento da função; aqui a forma do gradiente mostra que T decresce ao afastar-se do centro (sinal negativo).

Passo 7

Avaliamo o gradiente em P=(1,2,-2). Já calculamos r_{P}=3, então (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}=3^{3}=27. Assim
\nabla T(P) = -378\frac{(1,2,-2)}{27} = -\frac{378}{27}(1,2,-2).
Calculando \tfrac{378}{27}=14, obtemos
\nabla T(P)= -14(1,2,-2)=(-14,\,-28,\;28).
Comentário: os números são inteiros e simples graças aos valores do enunciado — bom para prova sem calculadora.

Passo 8

Agora a taxa de variação direcional em P na direção de Q é
D_{\vec{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot \vec{u}.
Fazendo o produto escalar:
D_{\vec{u}}T(P)=(-14,\,-28,\;28)\cdot\left(\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right).
Calculamos componente a componente:
D_{\vec{u}}T(P)= -14\cdot\frac{2}{7} + (-28)\cdot\frac{3}{7} + 28\cdot\frac{6}{7}.
Simplificando cada termo (dividindo por 7):
D_{\vec{u}}T(P)=\frac{1}{7}\big(-14\cdot 2 -28\cdot 3 +28\cdot 6\big) = \frac{1}{7}(-28-84+168)=\frac{56}{7}=8.
Interpretação: a taxa é 8 (graus Celsius por unidade de distância) — positiva, ou seja, movendo-se de P em direção a Q a temperatura aumenta.

Resposta

(a) T(x,y,z)=\dfrac{378}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
(b) D_{\vec{u}}T(P)=8 (unidades: ^\circ\text{C} por unidade de distância).

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