Questão 1 (2 pontos) A temperatura
em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto
é
.
a) Determine a função temperatura na bola de metal.
b) Calcule a taxa de variação de
no ponto
em direção ao ponto
.
a) Determine a função temperatura na bola de metal.
b) Calcule a taxa de variação de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Informações dadas:
- A temperatura
em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. - A temperatura no ponto
é .
- A temperatura
-
Perguntas:
a) Determine a função temperatura na bola de metal (ou seja, encontre).
b) Calcule a taxa de variação deno ponto na direção do ponto .
Passo 2
Entendendo “inversamente proporcional à distância do centro”: isso significa que existe uma constante
tal que a temperatura
depende da distância
ao centro por
Aqui
é a distância do ponto
até a origem, isto é
Explicando: “inversamente proporcional” quer dizer que se a distância dobra, a temperatura vira metade, etc. A constante
é um número fixo que ajusta a escala da temperatura.
Passo 3
Usamos a informação numérica em
para achar
. Primeiro calculamos a distância de
à origem:
Como
e
, temos
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula, obtemos a função temperatura para qualquer ponto
(exceto na origem, onde a distância é zero):
Interpretando: para cada ponto na bola (fora da origem) calculo sua distância ao centro e coloco na fórmula acima.
Passo 5
Para calcular a taxa de variação de
no ponto
na direção do ponto
, precisamos da direção unitária que vai de
para
. Primeiro a direção (vetor) é
A norma de
é
Portanto o vetor unitário na direção de
é
Explicando: para medir taxa de variação na direção entre dois pontos usa-se o vetor unitário, porque queremos a taxa por unidade de distância nessa direção.
Passo 6
A taxa de variação direcional de uma função escalar
na direção unitária
é o produto escalar entre o gradiente de
e
:
Agora vamos calcular
. Temos
Usando regra da cadeia e derivadas parciais, para cada componente:
Analogamente para
e
. Portanto o gradiente pode ser escrito de forma compacta:
Explicando: o gradiente aponta na direção de maior aumento da função; aqui a forma do gradiente mostra que
decresce ao afastar-se do centro (sinal negativo).
Passo 7
Avaliamo o gradiente em
. Já calculamos
, então
. Assim
Calculando
, obtemos
Comentário: os números são inteiros e simples graças aos valores do enunciado — bom para prova sem calculadora.
Passo 8
Agora a taxa de variação direcional em
na direção de
é
Fazendo o produto escalar:
Calculamos componente a componente:
Simplificando cada termo (dividindo por
):
Interpretação: a taxa é
(graus Celsius por unidade de distância) — positiva, ou seja, movendo-se de
em direção a
a temperatura aumenta.
Resposta
(a)
(b) (unidades:
por unidade de distância).
(b)