2* QUESTÃo. ( 2,5 pontos). Um teste de cisalhamento direto foi realizado em uma amostra de areia seca com uma tensäo normal de 200 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. A falha ocorreu a uma tensăo de cisalhamento de 175 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. O tamanho da amostra testada era de 75 \mathrm{~mm} \times 75 \mathrm{~mm} \times 30 mm (altura). Determine o ångulo de atrito, \varphi. Para uma tensăo normal de 150 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, qual força de cisalhamento seria necessárla para causar a falha da amostra?

Passo 1

O enunciado descreve um ensaio de cisalhamento direto em amostra de areia seca, com tensão normal \sigma_n=200\,\mathrm{kN/m^2} e tensão de cisalhamento de ruptura \tau_f=175\,\mathrm{kN/m^2}. A seção da amostra é um quadrado de 75\,\mathrm{mm}\times75\,\mathrm{mm}. Vamos usar o critério de Mohr‐Coulomb sem coesão, em que
\tau = \sigma_n \,\tan(\varphi)
para determinar o ângulo de atrito \varphi, e depois calcular, para \sigma_n=150\,\mathrm{kN/m^2}, a força de cisalhamento necessária:
F = \tau \;A.

Passo 2

Pelo critério de Mohr‐Coulomb sem coesão temos
\tan(\varphi)=\frac{\tau_f}{\sigma_n} =\frac{175}{200}=0,875.

Passo 3

O ângulo de atrito é
\varphi = \arctan(0,875)\approx 41,2^\circ.

Passo 4

Para \sigma_n=150\,\mathrm{kN/m^2} a tensão de cisalhamento de ruptura seria
\tau = 150\;\mathrm{kN/m^2}\times\tan(41,2^\circ) =150\times0,875=131,25\;\mathrm{kN/m^2}.

Passo 5

A área da seção é
A=(75\,\mathrm{mm})\times(75\,\mathrm{mm}) =(0,075\,\mathrm m)\times(0,075\,\mathrm m) =0,005625\,\mathrm{m^2}.
Logo a força de cisalhamento é
F=\tau\,A =131{,}25\;\mathrm{kN/m^2}\times0,005625\,\mathrm{m^2} \approx0{,}7383\,\mathrm{kN}\approx738{,}3\,\mathrm N.

Resposta

Ângulo de atrito \varphi\approx41,2^\circ.
Para \sigma_n=150\,\mathrm{kN/m^2}, a força de cisalhamento de ruptura é aproximadamente 738{,}3\,\mathrm N.

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