2^{\circ} ) ( 2,5 pontos) ) Uma almôndega \left[\alpha=1,6 \cdot 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right. e \left.\mathrm{k}=0,5 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right], com diàmetro \mathrm{D}=2 \mathrm{~cm}, inicialmente na temperatura uniforme 7^{\circ} \mathrm{C}, é mergulhada repentinamente em água fervente a \mathrm{T}_{\kappa}=100^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor entre a água e a superficie é \mathrm{h}=90 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). A almôndega está cozida quando a temperatura central atinge 75{ }^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tempo vai ser preciso para que a temperatura no centro da almôndega atinja 75^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata de condução transiente de calor em uma esfera de raio R com convecção na superfície. O material da esfera tem difusividade térmica \alpha e condutividade k, a superfície troca calor com coeficiente h para um fluido a T_\infty. A temperatura inicial é uniforme e igual a T_i, e queremos o instante em que a temperatura no centro atinge T(0,t)=75\,^\circ\mathrm{C}. Usaremos o método de Heisler (gráfico ou primeira parcela da série) para esferas.

Passo 2

Calculamos o número de Biot para a esfera, lembrando que R=D/2:
R = \frac{2{\,\mathrm{cm}}}{2} = 0{,}01\;\mathrm{m}, \quad \mathrm{Bi} = \frac{h\,R}{k} = \frac{90\;\mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}\times0{,}01\;\mathrm{m}}{0{,}5\;\mathrm{W/(m\,^\circ C)}} =0{,}6.

Passo 3

Definimos a temperatura adimensional no centro da esfera:
\varphi = \frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i - T_\infty} =\frac{75-100}{7-100} =\frac{-25}{-93} \approx0{,}269.
No gráfico de Heisler para esferas, em que cada curva é para um valor de \mathrm{Bi}, a interseção \varphi=0{,}269 na curva \mathrm{Bi}=0{,}6 corresponde a um número de Fourier
\mathrm{Fo} = \frac{\alpha\,t}{R^2} \approx0{,}42.

Passo 4

Isolando o tempo no número de Fourier:
t = \mathrm{Fo}\,\frac{R^2}{\alpha} =0{,}42\;\frac{(0{,}01)^2}{1{,}6\times10^{-7}} =0{,}42\;\frac{1\times10^{-4}}{1{,}6\times10^{-7}} \approx264\;\mathrm{s}.

Passo 5

Convertendo para minutos:
264\;\mathrm{s}\approx4{,}4\;\mathrm{min}.

Resposta

Demoram-se aproximadamente 264 s, ou cerca de 4{,}4 min, para a temperatura central atingir 75\,^\circ\mathrm{C}.

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