1^{\text {}} ) ( 2,5 pontos) Um processo exotérmico ocorre de modo uniforme ao longo de uma semi-esfera ( \mathrm{k}=300 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \mathrm{cp}=400 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} \quad \rho=7500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) de 10 cm de diâmetro, gerando calor a uma taxa constante de 1.2 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{3}. A esfera está inicialmente a uma temperatura uniforme de 25^{\circ} \mathrm{C}, e o processo exotérmico inicia-se no momento t =0. Para manter a temperatura da esfera sob controle, ela é imersa em banho liquido mantido a 25^{\circ} \mathrm{C}. O Coeficiente de transferência de calor na superfície da esfera é 260 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Devido a alta condutividade térmica da semi-esfera, a resistência condutiva dentro dela pode ser negligenciada rm comparação com a resistência convectiva da superficie.
a) Calcule a temperatura de equilíbrio
b) Em quanto tempo a esfera vai atingir 95 \% da temperatura de equilibrio

Passo 1

O enunciado descreve uma semi-esfera de raio r=0,05,m com geração volumétrica de calor constante \dot q'''=1{,}2\times10^6,W/ m^{3}, inicialmente a 25^\circC, imersa num banho a T_\infty=25^\circC com coeficiente convectivo h=260,W/ m^{2}K. Devido à alta condutividade interna, podemos usar o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance), em que a temperatura interna é homogênea e obedece ao balanço
\rho V c_p \,\frac{dT}{dt} =\dot q'''\,V - h A\,(T-T_\infty)\,.

Passo 2

Em regime permanente dT/dt=0 a geração interna se equilibra com a convecção na superfície total da semi-esfera (curva +\ base):
\dot q'''\,V \;=\; h\,A\,(T_{\rm eq}-T_\infty) \quad\Longrightarrow\quad T_{\rm eq} = T_\infty + \frac{\dot q'''\,V}{h\,A}\,.

Passo 3

Volume e área total da semi-esfera:
V=\frac23\pi r^3= \frac23\pi (0,05)^3\approx2{,}618\times10^{-4}\,\mathrm{m^3}, \quad A=(2\pi r^2+\pi r^2)=3\pi r^2=3\pi(0,05)^2\approx0{,}02356\,\mathrm{m^2}.
Taxa de calor gerada:
Q_{\rm gen}=\dot q'''V\approx1{,}2\times10^6\cdot2{,}618\times10^{-4}\approx314{,}2\\ \mathrm{W}.
Logo
T_{\rm eq} =25^\circ\mathrm{C}+\frac{314{,}2}{260\cdot0{,}02356} \approx25^\circ\mathrm{C}+0{,}0513^\circ\mathrm{C} \approx25{,}05^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

A solução transiente do modelo lumped é
T(t)-T_{\rm eq} =\bigl(T(0)-T_{\rm eq}\bigr)\,\exp\bigl(-t/\tau\bigr),
com \tau=\dfrac{\rho V c_p}{hA}. Como T(0)=T_\infty, resulta
T(t)-T_\infty =(T_{\rm eq}-T_\infty)\bigl[1-\exp(-t/\tau)\bigr].
Para atingir 95\% do salto T_{\rm eq}-T_\infty basta
1-\exp(-t_{95}/\tau)=0{,}95 \quad\Longrightarrow\quad t_{95}=-\tau\ln(0,05)=\tau\ln(20).

Passo 5

Massa térmica e constante de tempo:
m=\rho V=7500\cdot2{,}618\times10^{-4}\approx1{,}964\\ \mathrm{kg}, \; m c_p=1{,}964\cdot4\times10^5\approx7,854\times10^5\\ \mathrm{J/K},
\tau=\frac{m c_p}{hA} =\frac{7{,}854\times10^5}{260\cdot0{,}02356} \approx128{,}2\\ \mathrm{s}.
Logo
t_{95}=\;128{,}2\cdot\ln(20)\approx128{,}2\cdot2{,}9957\approx384\\ \mathrm{s} \approx6{,}4\\ \mathrm{min}.

Resposta

T_{\rm eq}\approx25{,}05^\circ\mathrm{C} t_{95\%}\approx384\\ \mathrm{s}\\ (\approx6{,}4\\ \mathrm{min})

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