Questão 3. \{2,5 pontos \} Um tubo de um órgão possui dois harmônicos sucessivos com frequências iguais a 105 Hz e 120 Hz . Mostre efetuando alguns cálculos, que harmônicos são esses se esse tubo for: (i) um tubo aberto e (ii) um tubo for fechado.

Passo 1

O enunciado dá duas frequências de dois harmônicos sucessivos de um tubo: \,105\\ \text{Hz}\, e \,120\\ \text{Hz}\,. Pergunta-se, mostrando os cálculos, quais são os números desses harmônicos no caso de o tubo ser: (i) aberto; (ii) fechado.
Informações relevantes: as duas frequências são sucessivas (ou seja, vizinhas na série de harmônicos observados) e os seus valores numéricos são \,105\\ \text{Hz}\, e \,120\\ \text{Hz}\,.

Passo 2

Conceito e fórmula para um tubo aberto (aula rápida e prática).
  • Num tubo aberto em ambas as extremidades, os harmônicos são todos os múltiplos inteiros do fundamental. Se v é a velocidade do som no ar e L o comprimento do tubo, a frequência do n-ésimo harmônico é
f_n=\frac{n\,v}{2L},
onde n=1,2,3,\dots.
  • Explicando as letras: f_n é a frequência do n-ésimo harmônico (em Hz), v é a velocidade do som (em m/s), L é o comprimento do tubo (em m) e n é um número inteiro positivo que conta os harmônicos.
  • Observação prática importante: a diferença entre dois harmônicos consecutivos em um tubo aberto é
f_{n+1}-f_n=\frac{(n+1)v}{2L}-\frac{n v}{2L}=\frac{v}{2L}.
Essa diferença é exatamente a frequência fundamental f_1=\dfrac{v}{2L}. Então, se conhecemos a diferença entre dois harmônicos consecutivos, já sabemos o f_1.

Passo 3

Aplicando ao caso do tubo aberto (cálculos passo a passo).
  • Primeiro calcule a diferença entre as duas frequências dadas:
120-105=15\\ \text{Hz}.
  • Pelo raciocínio anterior, essa diferença é a frequência fundamental f_1 do tubo aberto, logo
f_1=15\\ \text{Hz}.
  • Agora encontramos quais múltiplos de f_1 são 105 e 120:
\frac{105}{15}=7,\qquad \frac{120}{15}=8.
  • Conclusão para o tubo aberto: as frequências \,105\\ \text{Hz}\, e \,120\\ \text{Hz}\, correspondem aos harmônicos n=7 e n=8, respectivamente (isto é, o 7.º e o 8.º harmônicos).

Passo 4

Conceito e fórmula para um tubo fechado (aula rápida e prática).
  • Num tubo fechado em uma extremidade (e aberto na outra), a série de harmônicos só contém os termos de ordem ímpar: n=1,3,5,\dots. A fórmula geral é
f_n=\frac{n\,v}{4L},
onde agora n toma apenas valores ímpares. Outro modo prático de escrever é: os harmônicos são (2m-1)f_1 com m=1,2,3,\dots e f_1=\dfrac{v}{4L}.
  • Importante: dois harmônicos consecutivos (na série observável de um tubo fechado) correspondem a índices n separados por 2 (por exemplo n=1 e n=3, ou n=3 e n=5), e a diferença entre duas dessas frequências sucessivas é
\Delta f = f_{n+2}-f_n = \frac{(n+2)v}{4L}-\frac{n v}{4L}=\frac{2v}{4L}=\frac{v}{2L}.
Note que essa diferença entre harmônicos sucessivos observáveis também vale \dfrac{v}{2L}, ou seja, numericamente é a mesma diferença que encontramos no tubo aberto. Mas há um detalhe sobre quais múltiplos são possíveis: somente múltiplos ímpares de f_1.

Passo 5

Tentativa de identificar os harmônicos no caso de tubo fechado (cálculo e verificação).
  • Como visto, a diferença entre dois harmônicos sucessivos observáveis num tubo fechado é \Delta f=\dfrac{v}{2L}. Igualando à diferença dada:
\Delta f=120-105=15\\ \text{Hz}=\frac{v}{2L}.
  • Então a frequência fundamental básica do tubo fechado (aquela que aparece na fórmula f_n=\dfrac{n v}{4L}) é
f_1=\frac{v}{4L}=\frac{1}{2}\cdot\frac{v}{2L}=\frac{15}{2}=7{,}5\\ \text{Hz}.
  • Agora escrevemos as duas frequências como múltiplos de f_1:
\frac{105}{7{,}5}=14,\qquad \frac{120}{7{,}5}=16.
  • Conclusão lógica: para que 105\\ \text{Hz} e 120\\ \text{Hz} fossem harmônicos do tubo fechado, seus índices n teriam de ser n=14 e n=16. Mas isso contraria a condição física do tubo fechado, que só admite índices ímpares ( n=1,3,5,\dots). Portanto 14 e 16 não são permitidos: as frequências dadas não são pares de harmônicos sucessivos possíveis num tubo fechado.

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido.
  • Para o tubo aberto deu certinho: diferença de 15\\ \text{Hz} implica f_1=15\\ \text{Hz} e os harmônicos são 7 e 8.
  • Para o tubo fechado encontramos uma contradição: a diferença implicaria um f_1=7{,}5\\ \text{Hz}, mas isso levaria 105 e 120 a correspondem a múltiplos pares de f_1 ( 14 e 16), e um tubo fechado não admite harmônicos com índices pares. Portanto não é possível que 105\\ \text{Hz} e 120\\ \text{Hz} sejam dois harmônicos sucessivos de um tubo fechado.

Resposta

(i) 105\\ \text{Hz} e 120\\ \text{Hz} são o 7º e o 8º harmônicos (tubo aberto).
(ii) Impossível — 105\\ \text{Hz} e 120\\ \text{Hz} não podem ser harmônicos sucessivos de um tubo fechado.

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