Questão 3.
pontos
Um tubo de um órgão possui dois harmônicos sucessivos com frequências iguais a 105 Hz e 120 Hz . Mostre efetuando alguns cálculos, que harmônicos são esses se esse tubo for: (i) um tubo aberto e (ii) um tubo for fechado.
Passo 1
O enunciado dá duas frequências de dois harmônicos sucessivos de um tubo:
e
. Pergunta-se, mostrando os cálculos, quais são os números desses harmônicos no caso de o tubo ser: (i) aberto; (ii) fechado.
Informações relevantes: as duas frequências são sucessivas (ou seja, vizinhas na série de harmônicos observados) e os seus valores numéricos são e
.
Informações relevantes: as duas frequências são sucessivas (ou seja, vizinhas na série de harmônicos observados) e os seus valores numéricos são
Passo 2
Conceito e fórmula para um tubo aberto (aula rápida e prática).
- Num tubo aberto em ambas as extremidades, os harmônicos são todos os múltiplos inteiros do fundamental. Se
é a velocidade do som no ar e o comprimento do tubo, a frequência do -ésimo harmônico é
onde
.
- Explicando as letras:
é a frequência do -ésimo harmônico (em Hz), é a velocidade do som (em m/s), é o comprimento do tubo (em m) e é um número inteiro positivo que conta os harmônicos. - Observação prática importante: a diferença entre dois harmônicos consecutivos em um tubo aberto é
Essa diferença é exatamente a frequência fundamental
. Então, se conhecemos a diferença entre dois harmônicos consecutivos, já sabemos o
.
Passo 3
Aplicando ao caso do tubo aberto (cálculos passo a passo).
- Primeiro calcule a diferença entre as duas frequências dadas:
- Pelo raciocínio anterior, essa diferença é a frequência fundamental
do tubo aberto, logo
- Agora encontramos quais múltiplos de
são e :
- Conclusão para o tubo aberto: as frequências
e correspondem aos harmônicos e , respectivamente (isto é, o 7.º e o 8.º harmônicos).
Passo 4
Conceito e fórmula para um tubo fechado (aula rápida e prática).
- Num tubo fechado em uma extremidade (e aberto na outra), a série de harmônicos só contém os termos de ordem ímpar:
. A fórmula geral é
onde agora
toma apenas valores ímpares. Outro modo prático de escrever é: os harmônicos são
com
e
.
- Importante: dois harmônicos consecutivos (na série observável de um tubo fechado) correspondem a índices
separados por 2 (por exemplo e , ou e ), e a diferença entre duas dessas frequências sucessivas é
Note que essa diferença entre harmônicos sucessivos observáveis também vale
, ou seja, numericamente é a mesma diferença que encontramos no tubo aberto. Mas há um detalhe sobre quais múltiplos são possíveis: somente múltiplos ímpares de
.
Passo 5
Tentativa de identificar os harmônicos no caso de tubo fechado (cálculo e verificação).
- Como visto, a diferença entre dois harmônicos sucessivos observáveis num tubo fechado é
. Igualando à diferença dada:
- Então a frequência fundamental básica do tubo fechado (aquela que aparece na fórmula
) é
- Agora escrevemos as duas frequências como múltiplos de
:
- Conclusão lógica: para que
e fossem harmônicos do tubo fechado, seus índices teriam de ser e . Mas isso contraria a condição física do tubo fechado, que só admite índices ímpares ( ). Portanto e não são permitidos: as frequências dadas não são pares de harmônicos sucessivos possíveis num tubo fechado.
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido.
- Para o tubo aberto deu certinho: diferença de
implica e os harmônicos são e . - Para o tubo fechado encontramos uma contradição: a diferença implicaria um
, mas isso levaria e a correspondem a múltiplos pares de ( e ), e um tubo fechado não admite harmônicos com índices pares. Portanto não é possível que e sejam dois harmônicos sucessivos de um tubo fechado.
Resposta
(i)
e
são o
º e o
º harmônicos (tubo aberto).
(ii) Impossível — e
não podem ser harmônicos sucessivos de um tubo fechado.
(ii) Impossível —