Questão 4. (2 pontos) Usando a Regra da Cadeia, determine
:
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e as relações
e
. Pede-se determinar
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
A tarefa é encontrar a derivada total de
em relação a
, ou seja
, usando a Regra da Cadeia.
Passo 2
O que é a Regra da Cadeia (no contexto de funções de várias variáveis) e por que a usamos aqui.
Se depende das variáveis
e
, que por sua vez dependem de
, a derivada total de
em relação a
é dada por:
Se
Explicação das notações:
-
é a derivada parcial de em relação a , ou seja, trata-se de derivar considerando como constante. -
é análogo, derivando em relação a com constante. -
e são as derivadas das funções e em relação a .
Nós usamos esta fórmula porquedepende indiretamente de através de e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
A função é simples: . Derivando em relação a
tratando
como constante:
A função é simples:
Derivando em relação a
tratando
como constante:
Comentário didático: uma derivada parcial mede a taxa de variação de
quando só uma das variáveis muda; aqui aumentar
em uma unidade aumenta
em uma unidade (mesmo com
fixo), e o mesmo vale para
.
Passo 4
Calcular
e
.
Temos e
. As regras básicas de derivação das funções trigonométricas são:
Temos
Aplicando:
Breve justificativa: essas derivadas vêm da definição limite das funções trigonométricas; na prática, memorize-as para usar em provas.
Passo 5
Aplicar a Regra da Cadeia substituindo os valores calculados.
Pela fórmula da cadeia:
Pela fórmula da cadeia:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): calcular diretamente.
Se substituirmos e
em
, temos
. Derivando diretamente:
Se substituirmos
que coincide com o resultado pela Regra da Cadeia. Isso confirma que o procedimento está correto.