Questão 4. (2 pontos) Usando a Regra da Cadeia, determine \frac{d f}{d t} :
f(x, y)=x+y, onde x=\cos (t) e y=\sin (t).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x+y e as relações x=\cos(t) e y=\sin(t). Pede-se determinar \dfrac{d f}{d t}.
Informações relevantes:
f(x,y)=x+y,
x(t)=\cos(t),
y(t)=\sin(t).
A tarefa é encontrar a derivada total de f em relação a t, ou seja \dfrac{d f}{d t}, usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

O que é a Regra da Cadeia (no contexto de funções de várias variáveis) e por que a usamos aqui.
Se f depende das variáveis x e y, que por sua vez dependem de t, a derivada total de f em relação a t é dada por:
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{d y}{d t}.
Explicação das notações:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, trata-se de derivar f considerando y como constante.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y} é análogo, derivando em relação a y com x constante.
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação a t.
    Nós usamos esta fórmula porque f depende indiretamente de t através de x(t) e y(t).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
A função é simples: f(x,y)=x+y. Derivando em relação a x tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}=1.
Derivando em relação a y tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}=1.
Comentário didático: uma derivada parcial mede a taxa de variação de f quando só uma das variáveis muda; aqui aumentar x em uma unidade aumenta f em uma unidade (mesmo com y fixo), e o mesmo vale para y.

Passo 4

Calcular \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t}.
Temos x(t)=\cos(t) e y(t)=\sin(t). As regras básicas de derivação das funções trigonométricas são:
\frac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t),\qquad \frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
Aplicando:
\frac{d x}{d t}=\frac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t),
\frac{d y}{d t}=\frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
Breve justificativa: essas derivadas vêm da definição limite das funções trigonométricas; na prática, memorize-as para usar em provas.

Passo 5

Aplicar a Regra da Cadeia substituindo os valores calculados.
Pela fórmula da cadeia:
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{d y}{d t}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x}=1, \dfrac{\partial f}{\partial y}=1, \dfrac{dx}{dt}=-\sin(t) e \dfrac{dy}{dt}=\cos(t), obtemos
\frac{d f}{d t}=1\cdot\bigl(-\sin(t)\bigr)+1\cdot\cos(t)=-\sin(t)+\cos(t).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): calcular diretamente.
Se substituirmos x e y em f, temos f(t)=\cos(t)+\sin(t). Derivando diretamente:
\frac{d}{dt}\bigl(\cos(t)+\sin(t)\bigr)=-\sin(t)+\cos(t),
que coincide com o resultado pela Regra da Cadeia. Isso confirma que o procedimento está correto.

Resposta

\cos(t)-\sin(t)

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