Questão 4. (2 pontos) Usando a Regra da Cadeia, determine \frac{d f}{d t} :
f(x, y)=x^{2}+y^{2}, onde x=t^{2} e y=e^{t}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A função de duas variáveis é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • As variáveis dependem de t por x(t)=t^{2} e y(t)=e^{t}.
  • Pergunta: determinar \dfrac{d f}{d t}, ou seja, a derivada total de f em relação a t.

Passo 2

Conceito-chave (Regra da Cadeia para funções de várias variáveis): quando f depende de x e y, que por sua vez dependem de t, a derivada total de f em relação a t é dada por
\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t}.
Explicando: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Depois multiplica-se cada derivada parcial pela taxa de variação da respectiva variável em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante. A derivada de x^{2} é 2x e a de y^{2} (constante) é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante. A derivada de y^{2} é 2y e a de x^{2} é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=2y.

Passo 4

Calcular as derivadas de x e y em relação a t, usando regras básicas de derivação:
  • x(t)=t^{2}. A derivada de t^{2} é 2t, portanto
\frac{d x}{d t}=2t.
  • y(t)=e^{t}. A derivada de e^{t} é e^{t}, portanto
\frac{d y}{d t}=e^{t}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Regra da Cadeia e substituir os resultados calculados nos passos anteriores.
A fórmula:
\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x, \dfrac{\partial f}{\partial y}=2y, \dfrac{d x}{d t}=2t e \dfrac{d y}{d t}=e^{t}, obtemos
\frac{d f}{d t} = (2x)(2t) + (2y)(e^{t}).
Agora substituir x=t^{2} e y=e^{t}:
\frac{d f}{d t} = 2\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t + 2\bigl(e^{t}\bigr)\cdot e^{t}.
Calcular os produtos passo a passo:
  • 2(t^{2})\cdot 2t = 4t^{3}.
  • 2(e^{t})\cdot e^{t} = 2e^{2t}.
Somando,
\frac{d f}{d t} = 4t^{3} + 2e^{2t}.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para a prova): eu poderia primeiro substituir x(t) e y(t) em f e depois derivar uma função de uma variável. Fazendo isso:
f(t)=\bigl(t^{2}\bigr)^{2} + \bigl(e^{t}\bigr)^{2} = t^{4} + e^{2t}.
Derivando diretamente:
\frac{d f}{d t} = 4t^{3} + 2e^{2t},
que confirma o resultado obtido pela Regra da Cadeia.

Resposta

4t^{3}+2e^{2t}

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