Questão 4. (2 pontos) Usando a Regra da Cadeia, determine
:
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A função de duas variáveis é
. - As variáveis dependem de
por e . - Pergunta: determinar
, ou seja, a derivada total de em relação a .
Passo 2
Conceito-chave (Regra da Cadeia para funções de várias variáveis): quando
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, a derivada total de
em relação a
é dada por
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante). Depois multiplica-se cada derivada parcial pela taxa de variação da respectiva variável em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante. A derivada de é e a de (constante) é . Logo
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante. A derivada de é e a de é . Logo
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
em relação a
, usando regras básicas de derivação:
-
. A derivada de é , portanto
-
. A derivada de é , portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula da Regra da Cadeia e substituir os resultados calculados nos passos anteriores.
A fórmula:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Agora substituir
e
:
Calcular os produtos passo a passo:
-
. -
.
Somando,
Passo 6
Verificação alternativa (útil para a prova): eu poderia primeiro substituir
e
em
e depois derivar uma função de uma variável. Fazendo isso:
Derivando diretamente:
que confirma o resultado obtido pela Regra da Cadeia.