Questão 1. (2 pontos) Defina os seguintes conceitos:
Derivadas parciais de segunda ordem.
Derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede que eu defina o conceito de “Derivadas parciais de segunda ordem”. Não há outras informações no enunciado além desse pedido. Portanto minha tarefa é: explicar o que são essas derivadas, como se calculam, que notação usar, dar um exemplo prático passo a passo e dizer quando as derivadas mistas coincidem.
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que é uma derivada parcial de primeira ordem. Considere uma função de duas variáveis, por exemplo
, definida em um ponto
. A derivada parcial de
em relação a
mede a variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo. A definição por limite é:
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Interpretação prática: para calcular
no papel, trate
como uma constante e diferencie em relação a
; para
, trate
como constante.
Passo 3
Vou mostrar com um exemplo concreto como se obtêm as derivadas parciais de primeira ordem. Seja
Calculemos
passo a passo:
- Para o termo
: trate como constante; a derivada de em relação a é , então o termo contribui com . - Para o termo
: é uma composição com . Tratando como constante, .
Portanto
Agora
:
- Para
: trate como constante; derivada em relação a é . - Para
: trate como constante; .
Portanto
Passo 4
Derivadas parciais de segunda ordem são as derivadas das derivadas parciais de primeira ordem. Ou seja, depois de obter
e
, podemos derivá-las novamente em relação a
ou
. Existem dois tipos de segunda ordem:
- Derivadas puras (ou segundas puras):
- Derivadas mistas:
Repare que a ordem dos diferenciais importa na definição; por isso distinguimos
de
até que mostremos condições em que elas são iguais.
Passo 5
Continuando com o exemplo
, calculemos todas as segundas parciais passo a passo usando as derivadas de primeiro ordem obtidas no Passo 3.
Primeiro a derivada pura em
:
Partimos de .
Partimos de
- Derivando em relação a
(tratando como constante): -
. -
.
Portanto
-
Agora a derivada pura em
:
Partimos de .
Partimos de
- Derivando em relação a
(tratando como constante): -
. -
.
Portanto
-
Agora as derivadas mistas. Primeiro
(derivar
em relação a
):
Partimos de .
Partimos de
- Derivando em relação a
: -
. -
: produto entre e . Use regra do produto: - derivada de
é , então ; - mais
vezes derivada de : .
- derivada de
- Somando:
.
Portanto
-
Agora
(derivar
em relação a
):
Partimos de .
Partimos de
- Derivando em relação a
: -
. -
: produto entre e . Use regra do produto: - derivada de
é , então ; - mais
vezes derivada de : .
- derivada de
- Somando:
.
Portanto
-
Notamos que, neste exemplo, as derivadas mistas são iguais:
Passo 6
Quando podemos afirmar que sempre
? A resposta prática para a prova: se as segundas derivadas parciais de
existirem e forem contínuas numa vizinhança do ponto considerado (ou seja, se
for de classe
nessa vizinhança), então as derivadas mistas coincidem. Esse resultado é conhecido como teorema de Clairaut (ou teorema de igualdade das derivadas parciais mistas). Em provas, você normalmente usa essa condição suficiente: verificar que as segundas parciais existem e são contínuas permite trocar a ordem.
Passo 7
Resumo prático para hora da prova e erros comuns:
- Para calcular segundas parciais: primeiro ache as parciais de primeira ordem, tratando outras variáveis como constantes; depois derive novamente a expressão obtida.
- Distinga entre derivadas puras (
) e mistas ( ). - Verifique condições de continuidade das segundas parciais antes de afirmar que as mistas são iguais; na maioria dos exercícios comuns as funções são suaves e essa igualdade vale.
- Notação rápida: escreva
para primeiras e para segundas, mas quando for justificar na prova prefira a notação completa . - Dica de método: organize cálculo por passos, cuide da regra do produto e da cadeia quando aparecer
, , etc. Se errar um sinal, refaça derivada do termo problemático isoladamente.
Resposta
Derivadas parciais de segunda ordem são as derivadas das derivadas parciais de primeira ordem de uma função de várias variáveis; explicitamente, para
temos as segundas puras
e
, e as mistas
e
. Além disso, se as segundas parciais existem e são contínuas numa vizinhança, então
(teorema de Clairaut).