Questão 1. (2 pontos) Defina os seguintes conceitos:
Derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o conceito de “Derivadas parciais de segunda ordem”. Não há outras informações no enunciado além desse pedido. Portanto minha tarefa é: explicar o que são essas derivadas, como se calculam, que notação usar, dar um exemplo prático passo a passo e dizer quando as derivadas mistas coincidem.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que é uma derivada parcial de primeira ordem. Considere uma função de duas variáveis, por exemplo f(x,y), definida em um ponto (x,y). A derivada parcial de f em relação a x mede a variação de f quando só mudamos x e mantemos y fixo. A definição por limite é:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Interpretação prática: para calcular \frac{\partial f}{\partial x} no papel, trate y como uma constante e diferencie em relação a x; para \frac{\partial f}{\partial y}, trate x como constante.

Passo 3

Vou mostrar com um exemplo concreto como se obtêm as derivadas parciais de primeira ordem. Seja
f(x,y)=x^{2}y+\sin(xy).
Calculemos \frac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
  • Para o termo x^{2}y: trate y como constante; a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, então o termo contribui com 2xy.
  • Para o termo \sin(xy): é uma composição \sin(u) com u=xy. Tratando y como constante, \frac{d}{dx}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy)=\cos(xy)\cdot y.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+y\cos(xy).
Agora \frac{\partial f}{\partial y}:
  • Para x^{2}y: trate x como constante; derivada em relação a y é x^{2}.
  • Para \sin(xy): trate x como constante; \frac{d}{dy}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{d}{dy}(xy)=\cos(xy)\cdot x.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+x\cos(xy).

Passo 4

Derivadas parciais de segunda ordem são as derivadas das derivadas parciais de primeira ordem. Ou seja, depois de obter \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}, podemos derivá-las novamente em relação a x ou y. Existem dois tipos de segunda ordem:
  • Derivadas puras (ou segundas puras): \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Derivadas mistas: \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).
Repare que a ordem dos diferenciais importa na definição; por isso distinguimos \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} de \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} até que mostremos condições em que elas são iguais.

Passo 5

Continuando com o exemplo f(x,y)=x^{2}y+\sin(xy), calculemos todas as segundas parciais passo a passo usando as derivadas de primeiro ordem obtidas no Passo 3.
Primeiro a derivada pura em x:
Partimos de \frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y\cos(xy).
  • Derivando em relação a x (tratando y como constante):
    • \frac{d}{dx}(2xy)=2y.
    • \frac{d}{dx}\big(y\cos(xy)\big)=y\cdot(-\sin(xy))\cdot\frac{d}{dx}(xy)=y\cdot(-\sin(xy))\cdot y=-y^{2}\sin(xy).
      Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=2y-y^{2}\sin(xy).
Agora a derivada pura em y:
Partimos de \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+x\cos(xy).
  • Derivando em relação a y (tratando x como constante):
    • \frac{d}{dy}(x^{2})=0.
    • \frac{d}{dy}\big(x\cos(xy)\big)=x\cdot(-\sin(xy))\cdot\frac{d}{dy}(xy)=x\cdot(-\sin(xy))\cdot x=-x^{2}\sin(xy).
      Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=-x^{2}\sin(xy).
Agora as derivadas mistas. Primeiro \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (derivar \partial f/\partial y em relação a x):
Partimos de \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+x\cos(xy).
  • Derivando em relação a x:
    • \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
    • \frac{d}{dx}\big(x\cos(xy)\big): produto entre x e \cos(xy). Use regra do produto:
      • derivada de x é 1, então 1\cdot\cos(xy)=\cos(xy);
      • mais x vezes derivada de \cos(xy): x\cdot(-\sin(xy))\cdot\frac{d}{dx}(xy)=x\cdot(-\sin(xy))\cdot y=-xy\sin(xy).
    • Somando: \cos(xy)-xy\sin(xy).
      Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=2x+\cos(xy)-xy\sin(xy).
Agora \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (derivar \partial f/\partial x em relação a y):
Partimos de \frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y\cos(xy).
  • Derivando em relação a y:
    • \frac{d}{dy}(2xy)=2x.
    • \frac{d}{dy}\big(y\cos(xy)\big): produto entre y e \cos(xy). Use regra do produto:
      • derivada de y é 1, então 1\cdot\cos(xy)=\cos(xy);
      • mais y vezes derivada de \cos(xy): y\cdot(-\sin(xy))\cdot\frac{d}{dy}(xy)=y\cdot(-\sin(xy))\cdot x=-xy\sin(xy).
    • Somando: \cos(xy)-xy\sin(xy).
      Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(x,y)=2x+\cos(xy)-xy\sin(xy).
Notamos que, neste exemplo, as derivadas mistas são iguais:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.

Passo 6

Quando podemos afirmar que sempre \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}? A resposta prática para a prova: se as segundas derivadas parciais de f existirem e forem contínuas numa vizinhança do ponto considerado (ou seja, se f for de classe C^{2} nessa vizinhança), então as derivadas mistas coincidem. Esse resultado é conhecido como teorema de Clairaut (ou teorema de igualdade das derivadas parciais mistas). Em provas, você normalmente usa essa condição suficiente: verificar que as segundas parciais existem e são contínuas permite trocar a ordem.

Passo 7

Resumo prático para hora da prova e erros comuns:
  • Para calcular segundas parciais: primeiro ache as parciais de primeira ordem, tratando outras variáveis como constantes; depois derive novamente a expressão obtida.
  • Distinga entre derivadas puras ( \partial^{2}/\partial x^{2},\partial^{2}/\partial y^{2}) e mistas ( \partial^{2}/\partial x\partial y,\partial^{2}/\partial y\partial x).
  • Verifique condições de continuidade das segundas parciais antes de afirmar que as mistas são iguais; na maioria dos exercícios comuns as funções são suaves e essa igualdade vale.
  • Notação rápida: escreva \,f_x,f_y para primeiras e f_{xx},f_{yy},f_{xy},f_{yx} para segundas, mas quando for justificar na prova prefira a notação completa \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
  • Dica de método: organize cálculo por passos, cuide da regra do produto e da cadeia quando aparecer \sin(xy), e^{xy}, etc. Se errar um sinal, refaça derivada do termo problemático isoladamente.

Resposta

Derivadas parciais de segunda ordem são as derivadas das derivadas parciais de primeira ordem de uma função de várias variáveis; explicitamente, para f(x,y) temos as segundas puras
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) e \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), e as mistas
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) e \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right). Além disso, se as segundas parciais existem e são contínuas numa vizinhança, então \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (teorema de Clairaut).

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