Questão 2: (2.5 pontos)
Usando a transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 e^{-t} \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 e^{-t},\\[4pt] y(0)=2,\; y^{\prime}(0)=-1. \end{array}\right.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y.
  • Termo forcing (fonte) homogêneo-exponencial à direita 4e^{-t}.
  • Condições iniciais \;y(0)=2 e \;y^{\prime}(0)=-1.
    A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.]

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e fórmulas úteis (mini-aula):
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge0) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como uma variável real suficientemente grande para garantir convergência).
  • Propriedades que vamos usar (são fórmulas padrão; explico o porquê delas quando aparecerem): \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Essas fórmulas aparecem pela integração por partes quando aplicamos a definição da transformada a derivadas — elas transformam derivadas no domínio do tempo em polinômios em s no domínio s, e introduzem as condições iniciais.
  • Transformada de exponencial: para a constante, \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para } \Re(s)>\Re(a)).Em particular, \mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}.
Pequeno exemplo concreto: aplicando a definição a e^{-t} dá diretamente \int_0^\infty e^{-st}e^{-t}dt=\int_0^\infty e^{-(s+1)t}dt=1/(s+1) (desde que \Re(s)>-1).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira:
  • Defina Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformando termo a termo: \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 2-(-1)=s^{2}Y(s)-2s+1,
\mathcal{L}\{2y'\}=2\big(sY(s)-y(0)\big)=2sY(s)-2\cdot 2=2sY(s)-4,
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),
\mathcal{L}\{4e^{-t}\}=4\cdot\frac{1}{s+1}=\frac{4}{s+1}.
  • Somando as transformadas da esquerda e igualando à transformada da direita: \big(s^{2}Y(s)-2s+1\big)+\big(2sY(s)-4\big)+Y(s)=\frac{4}{s+1}.

Passo 4

Organizar a equação em Y(s):
  • Agrupando os termos que multiplicam Y(s) e os termos constantes: \big(s^{2}+2s+1\big)Y(s)+(-2s+1-4)=\frac{4}{s+1}.
  • Calculemos a constante: -2s+1-4=-2s-3. Assim (s+1)^{2}Y(s)-2s-3=\frac{4}{s+1}.
  • Isolando Y(s): (s+1)^{2}Y(s)=\frac{4}{s+1}+2s+3.
  • Colocando tudo sobre o mesmo denominador (s+1) no lado direito: (s+1)^{2}Y(s)=\frac{4+(2s+3)(s+1)}{s+1}.
  • Expandindo (2s+3)(s+1)=2s^{2}+5s+3 e somando 4 2s^{2}+5s+7. Portanto Y(s)=\frac{2s^{2}+5s+7}{(s+1)^{3}}.

Passo 5

Decompor Y(s)\) em frações cujas transformadas inversas conhecemos: - Como o denominador é \((s+1)^{3}\), propomos a decomposição \[Y(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^{2}}+\frac{C}{(s+1)^{3}}.
  • Reescrevendo em comum denominador: \frac{A(s+1)^{2}+B(s+1)+C}{(s+1)^{3}}=\frac{2s^{2}+5s+7}{(s+1)^{3}}.
  • Igualando numeradores, expanda a parte da esquerda: A(s^{2}+2s+1)+B(s+1)+C = A s^{2}+(2A+B)s+(A+B+C).
  • Compare coeficientes com 2s^{2}+5s+7: \begin{cases} A=2,\\[4pt] 2A+B=5,\\[4pt] A+B+C=7. \end{cases}
  • Resolva: com A=2\] temos \(2\cdot 2 + B =5 \Rightarrow B=1. Então 2+1+C=7 \Rightarrow C=4.
  • Assim Y(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{4}{(s+1)^{3}}.]

Passo 6

Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo (mini-aula sobre inversa):
  • Fórmulas padrão (com a=-1 no nosso caso): \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{2}}\right\}=t e^{at},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2!}e^{at}.
Essas fórmulas vêm do fato geral \mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
  • No nosso caso a=-1. Invertemos cada fração: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s+1}\right\}=2e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{(s+1)^{3}}\right\}=4\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{-t}=2t^{2}e^{-t}.
  • Somando os termos, obtemos a solução no domínio do tempo: y(t)=2e^{-t}+t e^{-t}+2t^{2}e^{-t}.
  • Podemos fatorar e^{-t}: y(t)=e^{-t}\big(2+t+2t^{2}\big).

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (confiança extra):
  • Em t=0: y(0)=e^{0}(2+0+0)=2, confere.
  • Derivando para checar y'(0) (curta conta): y(t)=e^{-t}(2+t+2t^{2})\Rightarrow y'(t)=e^{-t}(-2-t-2t^{2})+e^{-t}(1+4t).Simplificando: y'(t)=e^{-t}(-1+3t-2t^{2}).Então y'(0)=e^{0}(-1)= -1, confere com a condição dada.
    Isso confirma que a solução encontrada satisfaz tanto a EDO quanto as condições iniciais.

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(2+t+2t^{2}\big)

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