A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y.
Termo forcing (fonte) homogêneo-exponencial à direita 4e^{-t}.
Condições iniciais \;y(0)=2 e \;y^{\prime}(0)=-1.
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.]
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e fórmulas úteis (mini-aula):
Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge0) é
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como uma variável real suficientemente grande para garantir convergência).
Propriedades que vamos usar (são fórmulas padrão; explico o porquê delas quando aparecerem):\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Essas fórmulas aparecem pela integração por partes quando aplicamos a definição da transformada a derivadas — elas transformam derivadas no domínio do tempo em polinômios em s no domínio s, e introduzem as condições iniciais.
Transformada de exponencial: para a constante,\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para } \Re(s)>\Re(a)).Em particular,\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}.
Pequeno exemplo concreto: aplicando a definição a e^{-t} dá diretamente \int_0^\infty e^{-st}e^{-t}dt=\int_0^\infty e^{-(s+1)t}dt=1/(s+1) (desde que \Re(s)>-1).
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira:
Defina Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Transformando termo a termo:\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 2-(-1)=s^{2}Y(s)-2s+1,
Somando as transformadas da esquerda e igualando à transformada da direita:\big(s^{2}Y(s)-2s+1\big)+\big(2sY(s)-4\big)+Y(s)=\frac{4}{s+1}.
Passo 4
Organizar a equação em Y(s):
Agrupando os termos que multiplicam Y(s) e os termos constantes:\big(s^{2}+2s+1\big)Y(s)+(-2s+1-4)=\frac{4}{s+1}.
Calculemos a constante: -2s+1-4=-2s-3. Assim(s+1)^{2}Y(s)-2s-3=\frac{4}{s+1}.
Isolando Y(s):(s+1)^{2}Y(s)=\frac{4}{s+1}+2s+3.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (s+1) no lado direito:(s+1)^{2}Y(s)=\frac{4+(2s+3)(s+1)}{s+1}.
Expandindo (2s+3)(s+1)=2s^{2}+5s+3 e somando 4 dá 2s^{2}+5s+7. PortantoY(s)=\frac{2s^{2}+5s+7}{(s+1)^{3}}.
Passo 5
Decompor Y(s)\) em frações cujas transformadas inversas conhecemos:
- Como o denominador é \((s+1)^{3}\), propomos a decomposição
\[Y(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^{2}}+\frac{C}{(s+1)^{3}}.
Reescrevendo em comum denominador:\frac{A(s+1)^{2}+B(s+1)+C}{(s+1)^{3}}=\frac{2s^{2}+5s+7}{(s+1)^{3}}.
Igualando numeradores, expanda a parte da esquerda:A(s^{2}+2s+1)+B(s+1)+C = A s^{2}+(2A+B)s+(A+B+C).
Compare coeficientes com 2s^{2}+5s+7:\begin{cases} A=2,\\[4pt] 2A+B=5,\\[4pt] A+B+C=7. \end{cases}
Resolva: com A=2\] temos \(2\cdot 2 + B =5 \Rightarrow B=1. Então 2+1+C=7 \Rightarrow C=4.
Verificação rápida das condições iniciais (confiança extra):
Em t=0: y(0)=e^{0}(2+0+0)=2, confere.
Derivando para checar y'(0) (curta conta):y(t)=e^{-t}(2+t+2t^{2})\Rightarrow y'(t)=e^{-t}(-2-t-2t^{2})+e^{-t}(1+4t).Simplificando:y'(t)=e^{-t}(-1+3t-2t^{2}).Então y'(0)=e^{0}(-1)= -1, confere com a condição dada.
Isso confirma que a solução encontrada satisfaz tanto a EDO quanto as condições iniciais.