Dados relevantes que o enunciado fornece: \;1) a parametrização da curva C é \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) para t\in[0,2\pi];\n\;2) a função escalar a integrar ao longo de C é f(x,y,z)=y\sin z;\n\;3) o elemento de comprimento de arco é d s, que será expresso em função de t pela parametrização.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicando bem): para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), t\in[a,b], e uma função escalar f(x,y,z), a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f\, d s = \int_{a}^{b} f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\, dt.
Aqui: \mathbf{r}(t) é o ponto da curva em função de t;\n \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor (velocidade) e \big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é sua norma (velocidade escalar), que multiplica dt para dar o elemento de comprimento d s;\n f(\mathbf{r}(t)) é a função avaliada ao longo da curva. Esta fórmula vem da definição de comprimento de arco: d s=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}=\|\mathbf{r}'(t)\|dt.
Calculamos cada termo: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}1\, dt = 2\pi. Para o cosseno, \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\, dt = \left.\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right|_{0}^{2\pi}=0 porque \sin(4\pi)=\sin 0=0. Assim
\int_{C} y\sin z\, d s = \sqrt{2}\cdot \pi = \pi\sqrt{2}.
Interpretação rápida: o integrando positivo médio sobre a hélice e o comprimento multiplicado pela constante \sqrt{2} resultam em \pi\sqrt{2}. Você conseguiu — resultado simples e bonito!