Calcule \int_{C} y \sin z d s, onde C é a hélice circular dada pelas equações x=\cos t, y=\sin t e z=t, 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y \sin z \, d s,
onde C é a hélice circular dada pelas equações paramétricas
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Dados relevantes que o enunciado fornece:
\;1) a parametrização da curva C é \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) para t\in[0,2\pi];\n \;2) a função escalar a integrar ao longo de C é f(x,y,z)=y\sin z;\n \;3) o elemento de comprimento de arco é d s, que será expresso em função de t pela parametrização.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicando bem): para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), t\in[a,b], e uma função escalar f(x,y,z), a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f\, d s = \int_{a}^{b} f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\, dt.
Aqui:
\mathbf{r}(t) é o ponto da curva em função de t;\n
\mathbf{r}'(t) é a derivada vetor (velocidade) e \big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é sua norma (velocidade escalar), que multiplica dt para dar o elemento de comprimento d s;\n
f(\mathbf{r}(t)) é a função avaliada ao longo da curva. Esta fórmula vem da definição de comprimento de arco: d s=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}=\|\mathbf{r}'(t)\|dt.

Passo 3

Parametrização e derivada: tomamos
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t).
Derivando componente a componente obtemos
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t,1).
Agora calculamos a norma:
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2}=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}.
Como \sin^2 t+\cos^2 t=1, segue
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação didática: a norma ficou constante em t, o que facilita bastante a integral.

Passo 4

Agora avaliamos a função ao longo da curva:
f(\mathbf{r}(t))=y\sin z=(\sin t)\sin(t)=\sin^2 t.
Portanto o integrando na fórmula do passo 2 é \sin^2 t\cdot\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sin^2 t\cdot\sqrt{2}.

Passo 5

Montando a integral conforme a fórmula:
\int_{C} y\sin z\, d s = \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t\;\sqrt{2}\; dt = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\, dt.

Passo 6

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\, dt usamos a identidade trigonométrica
\sin^2 t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Substituindo,
\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\, dt = \int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2t)}{2}\, dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\, dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\, dt.
Calculamos cada termo: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}1\, dt = 2\pi. Para o cosseno, \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)\, dt = \left.\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right|_{0}^{2\pi}=0 porque \sin(4\pi)=\sin 0=0. Assim
\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\, dt = \frac{1}{2}\cdot 2\pi - \frac{1}{2}\cdot 0 = \pi.

Passo 7

Voltando à integral do passo 5:
\int_{C} y\sin z\, d s = \sqrt{2}\cdot \pi = \pi\sqrt{2}.
Interpretação rápida: o integrando positivo médio sobre a hélice e o comprimento multiplicado pela constante \sqrt{2} resultam em \pi\sqrt{2}. Você conseguiu — resultado simples e bonito!

Resposta

\pi\sqrt{2}

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