Questão 4. (2.5 pontos) Utilize o teorema de Gauss para calcular \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=\left(\frac{x^{3}}{3}-4 \operatorname{sen}(y), \frac{y^{3}}{3}+e^{z}, x^{2} y\right) e S é a fronteira da região D dada por D=\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0 e \left.-1 \leq z \leq 3\right\}. Considere o vetor n apontando para dentro da região D.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações nos dá.
  • Pede para calcular \displaystyle \iint_{S}(F\cdot n)\,dS, onde S é a fronteira da região D e o vetor n está apontando para dentro de D.
  • A função vetorial é F(x,y,z)=\Big(\frac{x^{3}}{3}-4\operatorname{sen}(y),\;\frac{y^{3}}{3}+e^{z},\;x^{2}y\Big).
  • A região D é dada por D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; x\ge 0,\; y\ge 0,\; -1\le z\le 3\}.Ou seja: é o cilindro de raio 2 sobre o disco x^2+y^2\le 4, restrito ao primeiro quadrante (x\ge0,y\ge0), com z variando de -1 até 3.
  • Observação importante: o enunciado especifica que n aponta para dentro da região D. Isso afeta o sinal quando usarmos o Teorema de Gauss (que normalmente usa a normal externa).
A partir daqui começa a resolução.

Passo 2

Lembrando e aplicando o Teorema de Gauss (divergência).
  • O Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) diz, para a normal externa n_{\text{out}}: \iint_{S_{\text{out}}} F\cdot n_{\text{out}}\,dS = \iiint_{D} \operatorname{div}F \, dV.Aqui \operatorname{div}F é a divergência de F.
  • Como no enunciado a normal n está apontando para dentro, temos a relação \iint_{S} F\cdot n_{\text{in}}\,dS = -\iint_{S_{\text{out}}} F\cdot n_{\text{out}}\,dS.Usando o Teorema de Gauss: \iint_{S} F\cdot n_{\text{in}}\,dS = -\iiint_{D} \operatorname{div}F \, dV.
  • Portanto a estratégia é: calcular \operatorname{div}F, então calcular o integral triple \iiint_{D}\operatorname{div}F\,dV e por fim colocar o sinal negativo por causa da normal interna.

Passo 3

Calcular a divergência \operatorname{div}F.
  • A divergência de um campo vetorial F=(F_1,F_2,F_3) é \operatorname{div}F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.Vou aplicar isso componente a componente ao nosso F.
  • Primeiro componente F_1(x,y,z)=\dfrac{x^{3}}{3}-4\operatorname{sen}(y). A derivada parcial em relação a x é \frac{\partial F_1}{\partial x}=x^{2},porque \dfrac{d}{dx}\big(\dfrac{x^3}{3}\big)=x^2 e -4\operatorname{sen}(y) não depende de x.
  • Segunda componente F_2(x,y,z)=\dfrac{y^{3}}{3}+e^{z}. A derivada parcial em relação a y é \frac{\partial F_2}{\partial y}=y^{2},porque \dfrac{d}{dy}\big(\dfrac{y^3}{3}\big)=y^2 e e^z não depende de y.
  • Terceira componente F_3(x,y,z)=x^{2}y. A derivada parcial em relação a z é \frac{\partial F_3}{\partial z}=0,pois x^{2}y não depende de z.
  • Somando: \operatorname{div}F = x^{2}+y^{2}+0 = x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Montar o integral de volume \displaystyle \iiint_{D} \operatorname{div}F\,dV e escolher coordenadas convenientes.
  • Com a divergência encontrada, o integral vira \iiint_{D} (x^{2}+y^{2})\, dV.
  • A região D é “cilíndrica” em relação a z e o domínio em x,y é o quarto do disco de raio 2 (primeiro quadrante). Para integrar x^{2}+y^{2} é natural usar coordenadas polares no plano xy: x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Em coordenadas polares: x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad dA = r\,dr\,d\theta,e o volume elemente é dV = dA\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Os limites ficam: r\in[0,2],\qquad \theta\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\quad(\text{pois }x\ge0,y\ge0), \qquad z\in[-1,3].
  • Assim o integral é \iiint_{D} (x^{2}+y^{2})\, dV = \int_{z=-1}^{3}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \int_{-1}^{3}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 5

Calcular o integral iterado passo a passo.
  • Primeiro o integral em r: \int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} = \frac{16}{4}=4.
  • Depois o integral em \theta: \int_{0}^{\pi/2} 1\,d\theta = \frac{\pi}{2}.
  • E o integral em z: \int_{-1}^{3} 1\,dz = 3-(-1)=4.
  • Multiplicando os resultados (pois o integrando separou): \iiint_{D} (x^{2}+y^{2})\, dV = 4 \times \frac{\pi}{2} \times 4 = 8\pi.Então o valor do integral de volume é 8\pi.

Passo 6

Relacionar com o fluxo pedido e concluir (sem repetir a resposta final aqui).
  • Pelo Passo 2, lembramos que o fluxo com a normal apontando para dentro é o negativo do integral de divergência: \iint_{S} F\cdot n_{\text{in}}\,dS = -\iiint_{D}\operatorname{div}F\,dV.
  • No Passo 5 encontramos \displaystyle \iiint_{D}\operatorname{div}F\,dV = 8\pi.
  • Portanto, substituindo, obtemos o valor do fluxo pedido (veja a seção de resposta para o valor final escrito isoladamente).

Resposta

-8\pi

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