Questão 4. (2.5 pontos) Utilize o teorema de Gauss para calcular
, onde
e
é a fronteira da região
dada por
e
. Considere o vetor
apontando para dentro da região
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações nos dá.
- Pede para calcular
, onde é a fronteira da região e o vetor está apontando para dentro de . - A função vetorial é
- A região
é dada por Ou seja: é o cilindro de raio sobre o disco , restrito ao primeiro quadrante , com variando de até . - Observação importante: o enunciado especifica que
aponta para dentro da região . Isso afeta o sinal quando usarmos o Teorema de Gauss (que normalmente usa a normal externa).
A partir daqui começa a resolução.
Passo 2
Lembrando e aplicando o Teorema de Gauss (divergência).
- O Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) diz, para a normal externa
: Aqui é a divergência de . - Como no enunciado a normal
está apontando para dentro, temos a relação Usando o Teorema de Gauss: - Portanto a estratégia é: calcular
, então calcular o integral triple e por fim colocar o sinal negativo por causa da normal interna.
Passo 3
Calcular a divergência
.
- A divergência de um campo vetorial
é Vou aplicar isso componente a componente ao nosso . - Primeiro componente
. A derivada parcial em relação a é porque e não depende de . - Segunda componente
. A derivada parcial em relação a é porque e não depende de . - Terceira componente
. A derivada parcial em relação a é pois não depende de . - Somando:
Passo 4
Montar o integral de volume
e escolher coordenadas convenientes.
- Com a divergência encontrada, o integral vira
- A região
é “cilíndrica” em relação a e o domínio em é o quarto do disco de raio (primeiro quadrante). Para integrar é natural usar coordenadas polares no plano : - Em coordenadas polares:
e o volume elemente é . - Os limites ficam:
- Assim o integral é
Passo 5
Calcular o integral iterado passo a passo.
- Primeiro o integral em
: - Depois o integral em
: - E o integral em
: - Multiplicando os resultados (pois o integrando separou):
Então o valor do integral de volume é .
Passo 6
Relacionar com o fluxo pedido e concluir (sem repetir a resposta final aqui).
- Pelo Passo 2, lembramos que o fluxo com a normal apontando para dentro é o negativo do integral de divergência:
- No Passo 5 encontramos
. - Portanto, substituindo, obtemos o valor do fluxo pedido (veja a seção de resposta para o valor final escrito isoladamente).