Questão 1. (2.5 pontos) Calcule
, onde
e
é a curva obtida como interseção da superfície
com
. Especifique a orientação escolhida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
e
é a curva obtida como interseção da superfície
com
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
O que se pede: o valor numérico de
e a especificação da orientação escolhida.
Passo 2
Escolha de orientação e parametrização. Vou escolher a orientação contra-horária vista de cima (eixo
) — costuma ser a orientação “positiva” e é intuitiva: percorremos a meia-circunferência da parte direita do círculo indo de
até
passando por
.
Parametrizo
por
Explicação: para
nesse intervalo temos
, portanto
e
descreve a meia-circunferência direita do círculo unitário. A derivada é
Lembrete de teoria (bem prático): a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada
,
, é
Aqui
é o campo avaliado nos pontos da curva e
é o vetor tangente; o produto escalar dá a componente tangencial de
.
Passo 3
Avalio
ao longo da parametrização. Como já observei no Passo 1, sobre
temos
. Assim
Só a primeira e a segunda componentes vão contribuir porque a terceira componente de
é zero.
Agora o produto escalar:
Passo 4
Simplifico o integrando e preparo as substituições:
Agora integro de
até
:
Faço cada termo separadamente:
- Para
uso a substituição . Então . Quando temos ; quando temos . Assim
Comentário: a integral é zero porque os limites em
coincidem — geometricamente o antiderivado é
avaliado em pontos com mesma
.
- Para
uso . Então . Quando temos ; quando temos . Assim
Observação didática: note que a substituição aqui foi muito natural porque
tem exatamente a forma
.
- Para
fatoro a constante :
pois
.
Passo 5
Somando os três resultados:
.
Retomando: escolhi a orientação contra-horária vista de cima (parametrização
,
). Se tivéssemos escolhido a orientação contrária, o valor da integral seria
.