Questão 1. (2.5 pontos) Calcule \int_{C} F d r, onde
F(x, y, z)=\left(e^{x}+y e^{z}, \cos (y)+x e^{z},-2 \operatorname{sen}(2 z)+x y e^{z}\right),
e C é a curva obtida como interseção da superfície x^{2}+y^{2}=1, x \geq 0 com z=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}. Especifique a orientação escolhida.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot d r, onde
F(x,y,z)=\bigl(e^{x}+y e^{z},\;\cos(y)+x e^{z},\;-2\operatorname{sen}(2z)+x y e^{z}\bigr),
e C é a curva obtida como interseção da superfície x^{2}+y^{2}=1,\; x\ge 0 com z=e^{-(x^{2}+y^{2})}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{(i)}\; C \text{ é a "meia-circunferência" do cilindro } x^{2}+y^{2}=1 \text{ com } x\ge 0,\\\ &\text{(ii)}\; \text{sobre }C\text{ vale }x^{2}+y^{2}=1,\text{ logo } z=e^{-(x^{2}+y^{2})}=e^{-1}\\ (\text{constante}). \end{aligned}éê
O que se pede: o valor numérico de \displaystyle \int_{C} F\cdot d r e a especificação da orientação escolhida.

Passo 2

Escolha de orientação e parametrização. Vou escolher a orientação contra-horária vista de cima (eixo +z) — costuma ser a orientação “positiva” e é intuitiva: percorremos a meia-circunferência da parte direita do círculo indo de (0,-1,e^{-1}) até (0,1,e^{-1}) passando por (1,0,e^{-1}).
Parametrizo C por
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;e^{-1}\bigr),\qquad t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Explicação: para t nesse intervalo temos \cos t\ge0, portanto x=\cos t\ge0 e (x,y) descreve a meia-circunferência direita do círculo unitário. A derivada é
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;0\bigr).
Lembrete de teoria (bem prático): a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada \mathbf{r}(t), t\in[a,b], é
\int_{C}F\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b} F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Aqui F(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva e \mathbf{r}'(t) é o vetor tangente; o produto escalar dá a componente tangencial de F.

Passo 3

Avalio F ao longo da parametrização. Como já observei no Passo 1, sobre C temos z=e^{-1}. Assim
\begin{aligned} F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) &=\Bigl(e^{\cos t}+\sin t\;e^{e^{-1}},\;\cos(\sin t)+\cos t\;e^{e^{-1}},\; -2\operatorname{sen}\bigl(2e^{-1}\bigr)+(\cos t)(\sin t)\;e^{e^{-1}}\Bigr). \end{aligned}
Só a primeira e a segunda componentes vão contribuir porque a terceira componente de \mathbf{r}'(t) é zero.
Agora o produto escalar:
\begin{aligned} F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t) &=\bigl(e^{\cos t}+\sin t\;e^{e^{-1}}\bigr)(-\sin t)\\\ &\quad +\bigl(\cos(\sin t)+\cos t\;e^{e^{-1}}\bigr)(\cos t). \end{aligned}

Passo 4

Simplifico o integrando e preparo as substituições:
\begin{aligned} F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) &=-e^{\cos t}\sin t -\sin^2 t\;e^{e^{-1}} +\cos(\sin t)\cos t +\cos^2 t\;e^{e^{-1}}\\\ &=-e^{\cos t}\sin t +\cos(\sin t)\cos t + e^{e^{-1}}\bigl(\cos^2 t-\sin^2 t\bigr)\\\ &=-e^{\cos t}\sin t +\cos(\sin t)\cos t + e^{e^{-1}}\cos(2t). \end{aligned}
Agora integro de t=-\tfrac{\pi}{2} até t=\tfrac{\pi}{2}:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! \bigl[-e^{\cos t}\sin t +\cos(\sin t)\cos t + e^{e^{-1}}\cos(2t)\bigr]\,dt.
Faço cada termo separadamente:
  1. Para \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} -e^{\cos t}\sin t\,dt uso a substituição \displaystyle u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt. Quando t=-\tfrac{\pi}{2} temos u=\cos(-\tfrac{\pi}{2})=0; quando t=\tfrac{\pi}{2} temos u=\cos(\tfrac{\pi}{2})=0. Assim
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} -e^{\cos t}\sin t\,dt=\int_{u=0}^{u=0} e^{u}\,du = 0.
Comentário: a integral é zero porque os limites em u coincidem — geometricamente o antiderivado é e^{\cos t} avaliado em pontos com mesma \cos.
  1. Para \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\sin t)\cos t\,dt uso \displaystyle v=\sin t. Então dv=\cos t\,dt. Quando t=-\tfrac{\pi}{2} temos v=\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1; quando t=\tfrac{\pi}{2} temos v=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Assim
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\sin t)\cos t\,dt=\int_{-1}^{1} \cos v\,dv = \bigl[\sin v\bigr]_{-1}^{1} = \sin(1)-\sin(-1)=2\sin(1).
Observação didática: note que a substituição aqui foi muito natural porque \cos(\sin t)\cos t tem exatamente a forma f(\sin t)\cdot (\sin t)'.
  1. Para \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{e^{-1}}\cos(2t)\,dt fatoro a constante e^{e^{-1}}:
e^{e^{-1}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2t)\,dt = e^{e^{-1}}\left[\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = e^{e^{-1}}\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(\sin \pi - \sin(-\pi)\bigr)=0,
pois \sin\pi=\sin(-\pi)=0.

Passo 5

Somando os três resultados: 0 + 2\sin(1) + 0 = 2\sin(1).
Retomando: escolhi a orientação contra-horária vista de cima (parametrização \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,e^{-1}), t\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]). Se tivéssemos escolhido a orientação contrária, o valor da integral seria -2\sin(1).

Resposta

2\sin(1)

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