Questão 3. (2.5 pontos) Utilize o teorema de Stokes para calcule
\int_{C} F d r
onde F(x, y, z)=\left(2+z^{2}, x^{3}+e^{y}, 2 x z+\operatorname{sen}\left(z^{2}+1\right)\right) e C é a interseção do cílindro x^{2}+z^{2}=4 com o plano z+2 y=4 orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • A função vetorial é F(x,y,z)=\left(2+z^{2},\,x^{3}+e^{y},\,2xz+\operatorname{sen}\left(z^{2}+1\right)\right).
    Aqui eu destaquei cada componente: a primeira componente é 2+z^{2}, a segunda é x^{3}+e^{y} e a terceira é 2xz+\operatorname{sen}(z^{2}+1).
  • A curva C é a interseção do cilindro x^{2}+z^{2}=4 com o plano z+2y=4.
    Isso significa que C é uma curva fechada (um laço) contida no plano, limitada pela seção do cilindro.
  • A orientação de C é anti-horária quando vista de cima (ou seja, vista do eixo positivo z).
  • O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot d r.

Passo 2

Vou usar um teorema que transforma integrais de linha de campos vetoriais ao longo de curvas fechadas em integrais de superfície: o teorema de Stokes. Vou explicar o teorema e como ele se aplica.
  • Enunciado do teorema de Stokes (versão usada): se S é uma superfície orientada com bordo \partial S=C e F é um campo vetorial suficientemente suave, então
\int_{C} F\cdot d r=\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\, dS,
onde \nabla\times F é o rotacional (curl) de F e \mathbf{n} é o vetor normal unitário em S compatível com a orientação de C (a regra da mão direita: se \mathbf{n} aponta para quem olha, a borda é percorrida no sentido anti-horário).
  • O que isto nos dá de prático: em vez de parametrizar a curva complicada, parametrize a superfície plana limitada por C (a parte do plano z+2y=4 dentro do cilindro) e calcule a integral dupla do rotacional sobre essa superfície.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times F. Por definição, para F=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\times F = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Aplicando isso às componentes de F:
  • Primeiro componente:
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial y}\big(2xz+\operatorname{sen}(z^{2}+1)\big)-\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{3}+e^{y}\big)=0-0=0,
pois 2xz+\operatorname{sen}(z^{2}+1) não depende de y e x^{3}+e^{y} não depende de z.
  • Segunda componente:
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial z}\big(2+z^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(2xz+\operatorname{sen}(z^{2}+1)\big)=2z-2z=0.
  • Terceira componente:
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}+e^{y}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(2+z^{2}\big)=3x^{2}-0=3x^{2}.
Portanto
\nabla\times F=(0,\,0,\,3x^{2}).
Vou usar esse resultado na integral de superfície.

Passo 4

Escolher a superfície S e o vetor normal compatível com a orientação de C.
  • Uma escolha natural é tomar S como a parte do plano z+2y=4 que está dentro do cilindro x^{2}+z^{2}\le 4. Essa superfície tem bordo exatamente a curva C.
  • O vetor normal (não-unitário) do plano z+2y=4 vem do coeficiente das variáveis: escrevendo 0\cdot x + 2\cdot y + 1\cdot z =4, um vetor normal é \mathbf{N}=(0,2,1). O comprimento é |\mathbf{N}|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.
  • Orientação: a curva C é anti-horária vista de cima (do eixo +z). Pela regra da mão direita, o vetor normal unitário \mathbf{n} deve ter componente z positiva. O vetor \mathbf{N}=(0,2,1) já tem a componente z positiva, então podemos tomar o normal unitário
\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}(0,2,1).

Passo 5

Escrever a integral de superfície e simplificá-la. Usando Stokes,
\int_{C}F\cdot d r=\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\mathbf{n}\,dS.
Substituindo \nabla\times F=(0,0,3x^{2}) e \mathbf{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(0,2,1),
(\nabla\times F)\cdot\mathbf{n}=\big(0,0,3x^{2}\big)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(0,2,1)=\frac{3x^{2}}{\sqrt{5}}.
Logo
\int_{C}F\cdot d r=\iint_{S}\frac{3x^{2}}{\sqrt{5}}\,dS.
Para calcular essa integral é prático projetar S no plano xz (pois o conjunto de pontos (x,z) que pertencem à seção do cilindro é um disco simples). Vou parametrizar S usando as coordenadas (x,z) do plano xz:
a equação do plano dá y=\dfrac{4-z}{2}. Então uma parametrização é
\mathbf{r}(x,z)=(x,\;y(x,z),\;z)=\big(x,\;\tfrac{4-z}{2},\;z\big),
com (x,z) variando no disco D=\{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 4\}.
Calculemos os vetores parciais:
\mathbf{r}_x=(1,\,0,\,0),\qquad \mathbf{r}_z=(0,\,-\tfrac{1}{2},\,1).
O produto vetorial orientado que dá um normal é
\mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_x = -(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z) = (0,\,1,\,\tfrac{1}{2}).
Note que \mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_x tem componente z positiva, então está de acordo com a orientação desejada. A magnitude é
\big|\mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_x\big|=\frac{\sqrt{5}}{2},
portanto dS=\big|\mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_x\big|\,dx\,dz=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\,dx\,dz.
Agora podemos escrever a integral sobre o disco D:
\iint_{S}\frac{3x^{2}}{\sqrt{5}}\,dS =\iint_{D}\frac{3x^{2}}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\,dx\,dz =\iint_{D}\frac{3}{2}x^{2}\,dx\,dz.
Observe que o fator \sqrt{5} cancelou, como era de esperar.

Passo 6

Calcular a integral dupla no disco D. É conveniente usar coordenadas polares no plano xz:
x=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad r\in[0,2],\\ \theta\in[0,2\pi],
e o jacobiano é dx\,dz=r\,dr\,d\theta.
A integral fica
\iint_{D}\frac{3}{2}x^{2}\,dx\,dz =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\frac{3}{2}(r\cos\theta)^{2}\,r\,dr\,d\theta =\frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\int_{0}^{2}r^{3}\,dr.
Calcule as duas integrais separadamente:
  • A integral angular:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi
(porque a média de \cos^{2}\theta é 1/2, então sobre 0 a 2\pi 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi).
  • A integral radial:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{16}{4}=4.
Multiplicando tudo:
\frac{3}{2}\cdot \pi \cdot 4 = \frac{3}{2}\cdot 4\pi =6\pi.
Portanto a integral de superfície, que é igual à integral de linha pedida, é 6\pi.

Resposta

6\pi

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