Questão 3. (2.5 pontos) Utilize o teorema de Stokes para calcule
\int_{C} F d r
onde F(x, y, z)=\left(2+z^{2}, x^{3}+e^{y}, 2 x z+\operatorname{sen}\left(z^{2}+1\right)\right) e C é a interseção do cílindro x^{2}+z^{2}=4 com o plano z+2 y=4 orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
A função vetorial é F(x,y,z)=\left(2+z^{2},\,x^{3}+e^{y},\,2xz+\operatorname{sen}\left(z^{2}+1\right)\right).
Aqui eu destaquei cada componente: a primeira componente é 2+z^{2}, a segunda é x^{3}+e^{y} e a terceira é 2xz+\operatorname{sen}(z^{2}+1).
A curva C é a interseção do cilindro x^{2}+z^{2}=4 com o plano z+2y=4.
Isso significa que C é uma curva fechada (um laço) contida no plano, limitada pela seção do cilindro.
A orientação de C é anti-horária quando vista de cima (ou seja, vista do eixo positivo z).
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot d r.
Passo 2
Vou usar um teorema que transforma integrais de linha de campos vetoriais ao longo de curvas fechadas em integrais de superfície: o teorema de Stokes. Vou explicar o teorema e como ele se aplica.
Enunciado do teorema de Stokes (versão usada): se S é uma superfície orientada com bordo \partial S=C e F é um campo vetorial suficientemente suave, então
\int_{C} F\cdot d r=\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\, dS,
onde \nabla\times F é o rotacional (curl) de F e \mathbf{n} é o vetor normal unitário em S compatível com a orientação de C (a regra da mão direita: se \mathbf{n} aponta para quem olha, a borda é percorrida no sentido anti-horário).
O que isto nos dá de prático: em vez de parametrizar a curva complicada, parametrize a superfície plana limitada por C (a parte do plano z+2y=4 dentro do cilindro) e calcule a integral dupla do rotacional sobre essa superfície.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times F. Por definição, para F=(F_1,F_2,F_3),
Vou usar esse resultado na integral de superfície.
Passo 4
Escolher a superfície S e o vetor normal compatível com a orientação de C.
Uma escolha natural é tomar S como a parte do plano z+2y=4 que está dentro do cilindro x^{2}+z^{2}\le 4. Essa superfície tem bordo exatamente a curva C.
O vetor normal (não-unitário) do plano z+2y=4 vem do coeficiente das variáveis: escrevendo 0\cdot x + 2\cdot y + 1\cdot z =4, um vetor normal é \mathbf{N}=(0,2,1). O comprimento é |\mathbf{N}|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.
Orientação: a curva C é anti-horária vista de cima (do eixo +z). Pela regra da mão direita, o vetor normal unitário \mathbf{n} deve ter componente z positiva. O vetor \mathbf{N}=(0,2,1) já tem a componente z positiva, então podemos tomar o normal unitário
\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}(0,2,1).
Passo 5
Escrever a integral de superfície e simplificá-la. Usando Stokes,
\int_{C}F\cdot d r=\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\mathbf{n}\,dS.
Substituindo \nabla\times F=(0,0,3x^{2}) e \mathbf{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(0,2,1),
\int_{C}F\cdot d r=\iint_{S}\frac{3x^{2}}{\sqrt{5}}\,dS.
Para calcular essa integral é prático projetar S no plano xz (pois o conjunto de pontos (x,z) que pertencem à seção do cilindro é um disco simples). Vou parametrizar S usando as coordenadas (x,z) do plano xz:
a equação do plano dá y=\dfrac{4-z}{2}. Então uma parametrização é