P. 249 Uma corda de comprimento L é posta a vibrar continuamente entre dois extremos fixos. Observam-se ao longo de todo seu comprimento quatro nós e três ventres. Calcule a relação entre o comprimento da corda e o comprimento de onda das ondas que originam a onda estacionária.

Passo 1

O enunciado diz: uma corda de comprimento \,L\, tem as duas extremidades fixas e, ao vibrar, observa-se ao longo de todo seu comprimento quatro nós e três ventres. A pergunta é: calcular a relação entre o comprimento da corda e o comprimento de onda \,\lambda\, das ondas que formam essa onda estacionária.
Informações dadas (lista clara):
  • Comprimento da corda: \,L\,.
  • Extremidades fixas (portanto são nós).
  • Observados ao longo da corda: quatro nós e três ventres.
  • Queremos a relação entre \,L\, e \,\lambda\,.

Passo 2

O que é um nó e o que é um ventre — explicação didática e simples.
  • Um nó é um ponto da corda que permanece em repouso durante a oscilação (amplitude zero).
  • Um ventre (ou antinó) é um ponto onde a amplitude da oscilação é máxima.
    Importante: em uma corda fixa nas duas extremidades, as extremidades são sempre nós.

Passo 3

Como os nós e ventres se distribuem numa onda estacionária — ideia central.
  • Entre dois nós consecutivos sempre existe exatamente um ventre.
  • A distância entre dois nós consecutivos é igual a metade de um comprimento de onda, ou seja, \,\text{distância nó–nó} = \tfrac{\lambda}{2}âóó.
    Explicando por que: numa onda estacionária formada pela superposição de duas ondas progressivas de mesma \lambda e direção oposta, os padrões de nós/ventres repetem-se a cada meia onda — isso é consequência da condição de interferência construtiva/destrutiva ao longo da corda.

Passo 4

Relacionando contagens de nós e ventres com segmentos de meia-onda.
  • Se há n ventres (antinós), a corda é dividida em n segmentos cada um com comprimento \tfrac{\lambda}{2}.
  • O número de nós ao longo da corda é então n+1 (porque cada segmento tem dois extremos e segmentos consecutivos compartilham nós).
    Portanto, em geral:
L = n\cdot\frac{\lambda}{2}.
Aqui \,n\, é o número de ventres (antinós). Reforçando: \,n ventres \Rightarrow \,n+1 nós.

Passo 5

Usando os dados do enunciado para determinar \,n\,.
Foi observado que há quatro nós ao longo da corda. Aplicando a relação anterior entre nós e ventres:
\text{número de nós} = n+1.úó
Como o enunciado dá \,4 nós, temos:
n+1 = 4 \quad\Rightarrow\quad n = 3.
Portanto há 3 ventres (o enunciado já dizia isso) e isso corresponde ao terceiro harmônico (mas não precisamos nomear se não quiser).

Passo 6

Substituindo \,n=3\, na fórmula que relaciona L e \lambda.
Da fórmula do Passo 4:
L = n\cdot\frac{\lambda}{2}.
Com \,n=3\, obtemos:
L = 3\cdot\frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}.
Isolando \lambda se preferir:
\lambda = \frac{2L}{3}.
E a razão pedida:
\frac{L}{\lambda} = \frac{3}{2}.

Passo 7

Checagem com exemplos simples (para fixar a ideia):
  • Se n=1 (um ventre, dois nós nas extremidades), então L=\tfrac{\lambda}{2}.
  • Se n=2 (dois ventres, três nós), então L=\lambda.
    No nosso caso n=3 L=\tfrac{3\lambda}{2}, consistente com o raciocínio.

Resposta

L=\dfrac{3\lambda}{2}
\lambda=\dfrac{2L}{3}
\dfrac{L}{\lambda}=\dfrac{3}{2}

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