P. 249 Uma corda de comprimento
é posta a vibrar continuamente entre dois extremos fixos. Observam-se ao longo de todo seu comprimento quatro nós e três ventres. Calcule a relação entre o comprimento da corda e o comprimento de onda das ondas que originam a onda estacionária.
Passo 1
O enunciado diz: uma corda de comprimento
tem as duas extremidades fixas e, ao vibrar, observa-se ao longo de todo seu comprimento quatro nós e três ventres. A pergunta é: calcular a relação entre o comprimento da corda e o comprimento de onda
das ondas que formam essa onda estacionária.
Informações dadas (lista clara):
Informações dadas (lista clara):
- Comprimento da corda:
. - Extremidades fixas (portanto são nós).
- Observados ao longo da corda: quatro nós e três ventres.
- Queremos a relação entre
e .
Passo 2
O que é um nó e o que é um ventre — explicação didática e simples.
- Um nó é um ponto da corda que permanece em repouso durante a oscilação (amplitude zero).
- Um ventre (ou antinó) é um ponto onde a amplitude da oscilação é máxima.
Importante: em uma corda fixa nas duas extremidades, as extremidades são sempre nós.
Passo 3
Como os nós e ventres se distribuem numa onda estacionária — ideia central.
- Entre dois nós consecutivos sempre existe exatamente um ventre.
- A distância entre dois nós consecutivos é igual a metade de um comprimento de onda, ou seja,
.
Explicando por que: numa onda estacionária formada pela superposição de duas ondas progressivas de mesmae direção oposta, os padrões de nós/ventres repetem-se a cada meia onda — isso é consequência da condição de interferência construtiva/destrutiva ao longo da corda.
Passo 4
Relacionando contagens de nós e ventres com segmentos de meia-onda.
- Se há
ventres (antinós), a corda é dividida em segmentos cada um com comprimento . - O número de nós ao longo da corda é então
(porque cada segmento tem dois extremos e segmentos consecutivos compartilham nós).
Portanto, em geral:
Aqui
é o número de ventres (antinós). Reforçando:
ventres
nós.
Passo 5
Usando os dados do enunciado para determinar
.
Foi observado que há quatro nós ao longo da corda. Aplicando a relação anterior entre nós e ventres:
Foi observado que há quatro nós ao longo da corda. Aplicando a relação anterior entre nós e ventres:
Como o enunciado dá
nós, temos:
Portanto há
ventres (o enunciado já dizia isso) e isso corresponde ao terceiro harmônico (mas não precisamos nomear se não quiser).
Passo 6
Substituindo
na fórmula que relaciona
e
.
Da fórmula do Passo 4:
Da fórmula do Passo 4:
Com
obtemos:
Isolando
se preferir:
E a razão pedida:
Passo 7
Checagem com exemplos simples (para fixar a ideia):
- Se
(um ventre, dois nós nas extremidades), então . - Se
(dois ventres, três nós), então .
No nosso casodá , consistente com o raciocínio.