P. 251 Numa corda de 3 m de comprimento, formam-se ondas estacionárias, observando-se a formação de seis ventres e sete nós. As ondas parciais que se superpõem, originando as ondas estacionárias, propagam-se com velocidade de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine para as ondas parciais:
a) o comprimento de onda;
b) a frequência.

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento \,3\\ \mathrm{m}\, na qual aparecem seis ventres (antinodos) e sete nós (nodes). As ondas parciais que se sobrepõem têm velocidade de propagação \,1,2\\ \mathrm{m/s}\,. O problema pede duas coisas:
a) determinar o comprimento de onda das ondas parciais;
b) determinar a frequência dessas ondas parciais.
Dados extraídos do enunciado:
L=3\\ \mathrm{m},\qquad \text{número de ventres}=6,\qquad \text{número de nós}=7,\qquad v=1,2\\ \mathrm{m/s}.úúó

Passo 2

Entendendo a relação entre nós, ventres e comprimento de onda (aulas rápidas e úteis).
  • Em ondas estacionárias numa corda fixa nas extremidades, os nós são pontos onde a amplitude é sempre zero e os ventres são pontos de amplitude máxima.
  • Os nós e ventres aparecem espaçados regularmente. A distância entre dois nós consecutivos (ou entre dois ventres consecutivos) é \,\tfrac{\lambda}{2}\,, onde \lambda é o comprimento de onda da onda parcial que gera o modo estacionário.
  • Por isso, se a corda tem m ventres (ou m+1 nós), o comprimento total L da corda corresponde a m meias-ondas: cada ventre ocupa um trecho de comprimento \tfrac{\lambda}{2}. Assim vale a relação
L = m\cdot\frac{\lambda}{2},
onde m é o número de ventres.
Explicação do porquê: pense numa senóide estacionária; entre dois nós consecutivos há meia oscilação completa da senóide, ou seja, metade do comprimento de onda. Cada ventre está entre dois nós, então cada ventre “usa” exatamente \tfrac{\lambda}{2} de comprimento da corda.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos m=6 ventres, então
L = 6\cdot\frac{\lambda}{2}.
Isolando \lambda, obtemos
\lambda = \frac{2L}{6} = \frac{L}{3}.

Passo 4

Agora substituímos o valor de L. Do enunciado L=3\\ \mathrm{m}, logo
\lambda = \frac{3\\ \mathrm{m}}{3} = 1\\ \mathrm{m}.
Comentário rápido e encorajador: já está! O comprimento de onda é um número redondinho, o que facilita a próxima conta.

Passo 5

Passamos para a frequência. A relação básica entre velocidade, comprimento de onda e frequência é a fórmula fundamental das ondas:
v = \lambda \, f,
onde v é a velocidade de propagação, \lambda é o comprimento de onda e f é a frequência. Essa fórmula diz que a velocidade é quantas ondas (comprimentos de onda) passam por unidade de tempo — assim, f é o número de ondas por segundo.
Isolando f:
f=\frac{v}{\lambda}.

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos: v=1,2\\ \mathrm{m/s} (do enunciado) e \lambda=1\\ \mathrm{m} (calculado acima). Assim
f=\frac{1,2\\ \mathrm{m/s}}{1\\ \mathrm{m}}=1,2\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Cheque rápido por outra fórmula conhecida de modos normais: para uma corda fixa nas duas extremidades os modos m satisfazem L=m\frac{\lambda}{2} e as frequências dos harmônicos são
f_m = m\frac{v}{2L}.
Com m=6, v=1,2\\ \mathrm{m/s} e L=3\\ \mathrm{m} obtemos
f_6 = 6\cdot\frac{1,2}{2\cdot 3} = \frac{7,2}{6}=1,2\\ \mathrm{Hz},
confirmação da resposta anterior.

Resposta

a) \lambda=1\\ \mathrm{m}
b) f=1,2\\ \mathrm{Hz}

Exercícios relacionados