P. 251 Numa corda de 3 m de comprimento, formam-se ondas estacionárias, observando-se a formação de seis ventres e sete nós. As ondas parciais que se superpõem, originando as ondas estacionárias, propagam-se com velocidade de
. Determine para as ondas parciais:
a) o comprimento de onda;
b) a frequência.
a) o comprimento de onda;
b) a frequência.
Passo 1
O enunciado dá uma corda de comprimento
na qual aparecem seis ventres (antinodos) e sete nós (nodes). As ondas parciais que se sobrepõem têm velocidade de propagação
. O problema pede duas coisas:
a) determinar o comprimento de onda das ondas parciais;
b) determinar a frequência dessas ondas parciais.
a) determinar o comprimento de onda das ondas parciais;
b) determinar a frequência dessas ondas parciais.
Dados extraídos do enunciado:
Passo 2
Entendendo a relação entre nós, ventres e comprimento de onda (aulas rápidas e úteis).
- Em ondas estacionárias numa corda fixa nas extremidades, os nós são pontos onde a amplitude é sempre zero e os ventres são pontos de amplitude máxima.
- Os nós e ventres aparecem espaçados regularmente. A distância entre dois nós consecutivos (ou entre dois ventres consecutivos) é
, onde é o comprimento de onda da onda parcial que gera o modo estacionário. - Por isso, se a corda tem
ventres (ou nós), o comprimento total da corda corresponde a meias-ondas: cada ventre ocupa um trecho de comprimento . Assim vale a relação
onde
é o número de ventres.
Explicação do porquê: pense numa senóide estacionária; entre dois nós consecutivos há meia oscilação completa da senóide, ou seja, metade do comprimento de onda. Cada ventre está entre dois nós, então cada ventre “usa” exatamente
de comprimento da corda.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos
ventres, então
Isolando
, obtemos
Passo 4
Agora substituímos o valor de
. Do enunciado
, logo
Comentário rápido e encorajador: já está! O comprimento de onda é um número redondinho, o que facilita a próxima conta.
Passo 5
Passamos para a frequência. A relação básica entre velocidade, comprimento de onda e frequência é a fórmula fundamental das ondas:
onde
é a velocidade de propagação,
é o comprimento de onda e
é a frequência. Essa fórmula diz que a velocidade é quantas ondas (comprimentos de onda) passam por unidade de tempo — assim,
é o número de ondas por segundo.
Isolando
:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos:
(do enunciado) e
(calculado acima). Assim
Passo 7
Cheque rápido por outra fórmula conhecida de modos normais: para uma corda fixa nas duas extremidades os modos
satisfazem
e as frequências dos harmônicos são
Com
,
e
obtemos
confirmação da resposta anterior.
Resposta
a)
b)
b)