Questão 4 (1,5 pontos) - Uma viga em balanço, com seção transversal retangular de altura h1 e largura b1 está submetida a um carregamento concentrado P em sua extremidade livre que ocasiona um deslocamento de 50 mm nesta extremidade. Por problemas de projeto, devemos substituir a viga por outra de mesmo material, com seção retangular, mas com a metade da largura da viga inicial. Calcule, utilizando o método do momento estático de área, a nova altura da viga, h2, em função da inicial, h1, sabendo que o deslocamento na extremidade da nova viga deve ser de 12,5 \mathrm{~mm}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Viga em balanço (cantilever) submetida a uma força concentrada P na extremidade livre.
    • Seção transversal inicial: retangular de largura b_1 e altura h_1.
    • Deslocamento vertical na extremidade da viga inicial: 50\\ \mathrm{mm}.
    • Viga substituta: mesmo material (mesmo E), seção retangular com metade da largura da inicial, ou seja b_2=\tfrac{b_1}{2}.
    • Deslocamento desejado na extremidade da nova viga: 12{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • O que se pede:
    • Calcular a nova altura h_2 em função de h_1 de modo que a nova viga, sob a mesma carga P e mesmo comprimento L, tenha deslocamento na extremidade igual a 12{,}5\\ \mathrm{mm}.
Observações implícitas (assumidas porque o enunciado não as cita, mas são necessárias para resolver):
  • O comprimento L da viga e a carga P permanecem os mesmos nas duas vigas.
  • Material igual significa mesmo módulo de Young E.
  • Regime elástico linear e pequenas deformações (teoria da viga de Euler–Bernoulli) valendo.
  • Não foi pedido determinar P ou L; trabalhar-se-á com relações proporcionais entre deslocamentos e inércias.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo, como numa aulinha curta).
  1. Rigidez à flexão e momento de inércia:
  • A rigidez à flexão local é dada por EI, onde E é o módulo de Young (propriedade do material) e I é o segundo momento de área (momento de inércia da seção) em relação ao eixo neutro.
  • Para uma seção retangular de largura b e altura h (borda superior-inferior na direção da flexão), o segundo momento de área em torno do eixo neutro horizontal é I=\frac{b\,h^{3}}{12}.Explicando: o h^{3} mostra que a altura tem influência muito mais forte que a largura (tripla potência).
  1. Método dos momentos de área (método do momento estático de área):
  • A curvatura da viga é \kappa=\dfrac{1}{\rho}=\dfrac{M}{E I}, onde M(x) é o momento fletor ao longo da viga.
  • Teorema 1 do método de momentos de área: a área sob o diagrama de \dfrac{M}{EI} entre dois pontos dá a variação de inclinação (ângulo) entre esses pontos.
  • Teorema 2: o primeiro momento da área do diagrama \dfrac{M}{EI} (isto é, a área vezes a distância do centroide dessa área até um ponto) dá o deslocamento entre a direção tangente num ponto e a posição real do outro ponto (na prática, permite calcular deflexões).
  • Para muitos casos simples (como um balanço com carga na ponta), esses teoremas permitem calcular a deflexão sem resolver integrais complicadas de y''(x).
  1. Resultado clássico (obtido pelo método acima ou por integração direta), que vamos demonstrar adiante para este caso:
  • Para um cantilever de comprimento L carregado por uma força concentrada P na extremidade livre, o deslocamento vertical da extremidade é \delta=\frac{P L^{3}}{3 E I}.Observação: aqui \delta é proporcional a 1/(E I), portanto, se E, P e L forem constantes, \delta varia inversamente com I.

Passo 3

Aplicando o método de momentos de área ao caso do cantilever para obter \delta=\dfrac{P L^{3}}{3 E I} (desenvolvimento passo a passo).
  • Tome x medindo a partir do apoio (fixo) até a extremidade livre ( x=0 no apoio, x=L na ponta).
  • Momento fletor em uma seção a distância x do apoio devido à força P na ponta: a porção à direita da seção tem a força P a uma distância L-x, logo o momento (magnitude) é M(x)=P\,(L-x).
  • Primeiro teorema (variação de inclinação): a inclinação na extremidade (já que na base a inclinação é zero) é \theta_{\text{ext}}=\int_{0}^{L}\frac{M(x)}{E I}\,dx =\int_{0}^{L}\frac{P(L-x)}{E I}\,dx.Calcule a integral: \theta_{\text{ext}}=\frac{P}{E I}\left[Lx-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L} =\frac{P}{E I}\left(L^{2}-\frac{L^{2}}{2}\right) =\frac{P L^{2}}{2 E I}.
  • Segundo teorema (deslocamento na extremidade): o deslocamento vertical da extremidade em relação à tangente no apoio é o primeiro momento da área do diagrama \dfrac{M}{EI} em torno da extremidade. Em fórmula: \delta=\int_{0}^{L}\frac{M(x)}{E I}\cdot (L-x)\,dx =\frac{P}{E I}\int_{0}^{L}(L-x)^{2}\,dx.Calcule a integral: \int_{0}^{L}(L-x)^{2}\,dx=\int_{0}^{L}u^{2}\,du\quad(\text{fazendo }u=L-x)=\frac{L^{3}}{3}.Portanto \delta=\frac{P}{E I}\cdot\frac{L^{3}}{3}=\frac{P L^{3}}{3 E I}.
  • Conclusão desta etapa: para nossa viga em balanço vale \delta=\frac{P L^{3}}{3 E I}.Esta é a relação que liga deslocamento \delta com o momento de inércia I.

Passo 4

Usar a relação \delta=\dfrac{P L^{3}}{3 E I} para comparar as duas vigas e encontrar h_2 em função de h_1.
  • Como P, L e E são os mesmos nas duas vigas, os deslocamentos são inversamente proporcionais aos momentos de inércia: \frac{\delta_{2}}{\delta_{1}}=\frac{I_{1}}{I_{2}}.
  • Dados numéricos dos deslocamentos: \delta_{1}=50\\ \mathrm{mm}, \delta_{2}=12{,}5\\ \mathrm{mm}. Então \frac{12{,}5}{50}=\frac{I_{1}}{I_{2}}.A razão à esquerda é 12{,}5/50=0{,}25.
  • Expressar I das seções retangulares: I_{1}=\frac{b_{1} h_{1}^{3}}{12},\qquad I_{2}=\frac{b_{2} h_{2}^{3}}{12}.
  • Sabendo que b_{2}=\tfrac{b_{1}}{2}, temos I_{2}=\frac{\tfrac{b_{1}}{2}\,h_{2}^{3}}{12}=\frac{b_{1} h_{2}^{3}}{24}.
  • Agora a razão I_{1}/I_{2}: \frac{I_{1}}{I_{2}}= \frac{\dfrac{b_{1} h_{1}^{3}}{12}}{\dfrac{b_{1} h_{2}^{3}}{24}} =\frac{b_{1} h_{1}^{3}}{12}\cdot\frac{24}{b_{1} h_{2}^{3}} =2\cdot\frac{h_{1}^{3}}{h_{2}^{3}}.(Os b_{1} cancelam; isso é bom: a largura inicial não é necessária para o resultado final.)
  • Igualando à razão dos deslocamentos: 0{,}25=2\cdot\frac{h_{1}^{3}}{h_{2}^{3}}.Isolando h_{2}^{3}: \frac{h_{1}^{3}}{h_{2}^{3}}=\frac{0{,}25}{2}=0{,}125=\frac{1}{8},logo h_{2}^{3}=8\,h_{1}^{3}.
  • Tomando a raiz cúbica: h_{2}= \sqrt[3]{8}\,h_{1}=2\,h_{1}.

Passo 5

Interpretação rápida (para memorizar): reduzir a largura pela metade diminui I por um fator 2 se h ficasse igual; para reduzir o deslocamento por um fator 4 (de 50 para 12{,}5), é preciso aumentar I por um fator 4. Assim, com a largura pela metade, a única maneira é aumentar h^{3} por um fator 8, ou seja h dobra. É consistente com o cálculo formal acima.

Resposta

h_{2}=2\,h_{1}

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