Questão 4 (1,5 pontos) - Uma viga em balanço, com seção transversal retangular de altura h1 e largura b1 está submetida a um carregamento concentrado P em sua extremidade livre que ocasiona um deslocamento de 50 mm nesta extremidade. Por problemas de projeto, devemos substituir a viga por outra de mesmo material, com seção retangular, mas com a metade da largura da viga inicial. Calcule, utilizando o método do momento estático de área, a nova altura da viga, h2, em função da inicial, h1, sabendo que o deslocamento na extremidade da nova viga deve ser de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Viga em balanço (cantilever) submetida a uma força concentrada
na extremidade livre. - Seção transversal inicial: retangular de largura
e altura . - Deslocamento vertical na extremidade da viga inicial:
. - Viga substituta: mesmo material (mesmo
), seção retangular com metade da largura da inicial, ou seja . - Deslocamento desejado na extremidade da nova viga:
.
- Viga em balanço (cantilever) submetida a uma força concentrada
- O que se pede:
- Calcular a nova altura
em função de de modo que a nova viga, sob a mesma carga e mesmo comprimento , tenha deslocamento na extremidade igual a .
- Calcular a nova altura
Observações implícitas (assumidas porque o enunciado não as cita, mas são necessárias para resolver):
- O comprimento
da viga e a carga permanecem os mesmos nas duas vigas. - Material igual significa mesmo módulo de Young
. - Regime elástico linear e pequenas deformações (teoria da viga de Euler–Bernoulli) valendo.
- Não foi pedido determinar
ou ; trabalhar-se-á com relações proporcionais entre deslocamentos e inércias.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo, como numa aulinha curta).
- Rigidez à flexão e momento de inércia:
- A rigidez à flexão local é dada por
, onde é o módulo de Young (propriedade do material) e é o segundo momento de área (momento de inércia da seção) em relação ao eixo neutro. - Para uma seção retangular de largura
e altura (borda superior-inferior na direção da flexão), o segundo momento de área em torno do eixo neutro horizontal é Explicando: o mostra que a altura tem influência muito mais forte que a largura (tripla potência).
- Método dos momentos de área (método do momento estático de área):
- A curvatura da viga é
, onde é o momento fletor ao longo da viga. - Teorema 1 do método de momentos de área: a área sob o diagrama de
entre dois pontos dá a variação de inclinação (ângulo) entre esses pontos. - Teorema 2: o primeiro momento da área do diagrama
(isto é, a área vezes a distância do centroide dessa área até um ponto) dá o deslocamento entre a direção tangente num ponto e a posição real do outro ponto (na prática, permite calcular deflexões). - Para muitos casos simples (como um balanço com carga na ponta), esses teoremas permitem calcular a deflexão sem resolver integrais complicadas de
.
- Resultado clássico (obtido pelo método acima ou por integração direta), que vamos demonstrar adiante para este caso:
- Para um cantilever de comprimento
carregado por uma força concentrada na extremidade livre, o deslocamento vertical da extremidade é Observação: aqui é proporcional a , portanto, se , e forem constantes, varia inversamente com .
Passo 3
Aplicando o método de momentos de área ao caso do cantilever para obter
(desenvolvimento passo a passo).
- Tome
medindo a partir do apoio (fixo) até a extremidade livre ( no apoio, na ponta). - Momento fletor em uma seção a distância
do apoio devido à força na ponta: a porção à direita da seção tem a força a uma distância , logo o momento (magnitude) é - Primeiro teorema (variação de inclinação): a inclinação na extremidade (já que na base a inclinação é zero) é
Calcule a integral: - Segundo teorema (deslocamento na extremidade): o deslocamento vertical da extremidade em relação à tangente no apoio é o primeiro momento da área do diagrama
em torno da extremidade. Em fórmula: Calcule a integral: Portanto - Conclusão desta etapa: para nossa viga em balanço vale
Esta é a relação que liga deslocamento com o momento de inércia .
Passo 4
Usar a relação
para comparar as duas vigas e encontrar
em função de
.
- Como
, e são os mesmos nas duas vigas, os deslocamentos são inversamente proporcionais aos momentos de inércia: - Dados numéricos dos deslocamentos:
, . Então A razão à esquerda é . - Expressar
das seções retangulares: - Sabendo que
, temos - Agora a razão
: (Os cancelam; isso é bom: a largura inicial não é necessária para o resultado final.) - Igualando à razão dos deslocamentos:
Isolando : logo - Tomando a raiz cúbica:
Passo 5
Interpretação rápida (para memorizar): reduzir a largura pela metade diminui
por um fator 2 se
ficasse igual; para reduzir o deslocamento por um fator 4 (de
para
), é preciso aumentar
por um fator 4. Assim, com a largura pela metade, a única maneira é aumentar
por um fator
, ou seja
dobra. É consistente com o cálculo formal acima.