1. Sabendo que a força de arrasto é dada pela expressão abaixo:
F_{a}=\frac{1}{2} \rho C_{a} v^{2} A
Em que: \rho é a massa específica do ar; C_{a} o coeficiente de arrasto; v a velocidade relativa do foguete (foguete-ar) e A a área frontal projetada do foguete (normal a v ).
(a) O que mudaria no modelo se adotássemos esse fenômeno? Construa o novo modelo simbólico.
(b) Como você solucionaria a equação para obter a dinâmica do sistema? Elabore o máximo possível.

Passo 1

O enunciado nos dá a força de arrasto
F_{a}=\frac{1}{2}\rho C_{a} v^{2} A,
onde \rho é a massa específica do ar, C_{a} o coeficiente de arrasto, v a velocidade relativa foguete–ar e A a área frontal projetada.
Ele pede duas coisas:
(a) o que muda no modelo mecânico se incluirmos esse arrasto e construir o novo modelo simbólico;
(b) como resolver a equação para obter a dinâmica do sistema — elaborar o máximo possível (métodos analíticos quando possível e, caso contrário, numéricos), mostrando o passo a passo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A fórmula de arrasto será adicionada como força externa que se opõe ao movimento.
  • Não foram dados valores numéricos nem especificada dimensão (assumimos movimento vertical unidimensional para modelagem básica).
  • Devemos considerar que o arrasto aponta sempre na direção oposta à velocidade relativa (ou seja, sua direção depende do sinal de v).

Passo 2

Relembrando o princípio físico básico que usamos: a 2ª lei de Newton. Em sua forma mais simples para movimento unidimensional (eixo vertical positivo para cima),
m \frac{dv}{dt} = \sum F_{\text{externas}},
onde m é a massa do foguete (função do tempo se houver queima de combustível), v(t) é a velocidade vertical do foguete e \sum F_{\text{externas}} é a soma algébrica das forças externas (empuxo/propulsão, peso, arrasto, etc.). Vou explicar cada termo que entra no modelo a seguir.

Passo 3

Incluir o arrasto implica adicionar uma força que sempre se opõe ao movimento. Para escrever isso de forma que a equação funcione para subida e descida sem ambiguidade, use a forma com \lvert v\rvert:
D(v) = \frac{1}{2}\rho C_a A\, v\lvert v\rvert.
Explicação: se v>0 (subida), então v\lvert v\rvert = v^2 e D>0 atua para baixo; se v<0 (descida), v\lvert v\rvert = -v^2 e D<0 atua para cima — sempre contrária ao sinal de v.
Assim, o modelo básico (1D vertical) com massa constante e empuxo T(t) fica:
m\frac{dv}{dt} = T(t) - m g(h) - \frac{1}{2}\rho(h)\,C_a A\, v\lvert v\rvert,
onde:
  • T(t) é a força de empuxo (positiva para cima); pode ser conhecida ou dada por sistema de propulsão;
  • g(h) é a aceleração da gravidade que pode ser aproximada por uma constante g_0 ou por g(h)=g_0\big(\dfrac{R}{R+h}\big)^2 se quiser variação com altitude h;
  • \rho(h) é a densidade do ar, que normalmente varia com altitude (ex.: \rho(h)=\rho_0 e^{-h/H}, com H altura de escala).
Além disso, para acompanhar posição (altitude) devemos integrar
\frac{dh}{dt}=v.
Essas duas equações formam um sistema de 1ª ordem para o estado (v,h). Se a massa varia (foguete queimando combustível), a modelagem muda, veja próximo passo.

Passo 4

Modelo com massa variável (mais realista para foguetes). Seja m(t) a massa total do foguete (estrutura + combustível), e \dot m(t)=dm/dt\le 0 a taxa de perda de massa por queima. A força de empuxo está relacionada ao escoamento de massa pelos gases de escapamento: tipicamente
T(t) = -\dot m(t)\,u_e,
onde u_e é a velocidade de exaustão relativa ao foguete (técnica: \dot m é negativo, então T>0). A equação de movimento (momentum balance) incluindo arrasto e peso fica então
m(t)\frac{dv}{dt} = T(t) - m(t) g(h) - \frac{1}{2}\rho(h)C_a A\, v\lvert v\rvert.
Complementarmente
\frac{dh}{dt}=v,\qquad \frac{dm}{dt}=\dot m(t).
Observação didática: escrever a forma com T(t) é conveniente porque encapsula a força produzida pelo jato; se for preciso derivar T da dinâmica dos gases, pode fazer isso com o termo -\dot m u_e. Para problemas de prova muitas vezes basta usar T(t) conhecida (constante durante fase de queima, por exemplo).

Passo 5

Exemplo e resolução analítica em um caso simplificado (aula-prática): suponha simplificações razoáveis para obter solução fechada:
  • massa constante m (pequena queima ou fase testada),
  • empuxo constante T,
  • g constante =g_0,
  • densidade \rho aproximadamente constante,
  • movimento para cima ( v\ge 0) — assim v\lvert v\rvert=v^{2}.
Defina as constantes
k \equiv \frac{1}{2}\rho C_a A,\qquad F_0\equiv T - m g_0.
A equação reduz a
m\frac{dv}{dt} = F_0 - k v^{2}.
Agora resolvemos por separação de variáveis. Escreva
\frac{dv}{F_0/k - v^{2}} = \frac{k}{m}\,dt.
Defina a\equiv\sqrt{\dfrac{F_0}{k}} (assumindo F_0>0, i.e. empuxo maior que peso). Então
\frac{dv}{a^{2}-v^{2}} = \frac{k}{m}\,dt.
Integral esquerda conhecida:
\int\frac{dv}{a^{2}-v^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\!\left(\frac{a+v}{a-v}\right).
Integramos e obtemos
\frac{1}{2a}\ln\!\left(\frac{a+v}{a-v}\right) = \frac{k}{m}t + C.
Isolando v (usando função hiperbólica para escrita mais limpa) obtemos a forma compacta
v(t)=a\,\operatorname{tanh}\!\Big(\frac{a k}{m}t + C_1\Big),
onde C_1=\operatorname{arctanh}\!\big(\dfrac{v(0)}{a}\big) é fixado pela condição inicial v(0). Observe que a é a velocidade de regime (terminal) que o foguete alcança enquanto o empuxo neto F_0 for mantido:
v_{\infty}=a=\sqrt{\frac{F_0}{k}}=\sqrt{\frac{2(T - m g_0)}{\rho C_a A}}.
Se F_0=0 (empuxo igual a peso), a equação vira m dv/dt = -k v^{2}, que integra para
v(t) = \frac{v_0}{1 + \dfrac{k v_0}{m}t}.

Passo 6

Interpretação física e limites:
  • A presença do termo k v^2 (arrasto quadrático) torna a equação não linear; para casos simples (constantes e sinal de v conhecido) é possível solução analítica com \operatorname{tanh}.
  • Se a massa varia ou \rho(h) varia bastante, a solução fechada normalmente desaparece e recorremos a integrações numéricas.
  • Se o foguete reverter o sentido (descida), usar v\lvert v\rvert garante sinal correto do arrasto.

Passo 7

Como resolver numericamente (metodologia passo‑a‑passo que dá para aplicar na prova ou implementar rápido):
  1. Escreva o sistema de 1ª ordem para o estado x=(v,h,m)\): \[\begin{cases} \dot v = \dfrac{T(t) - m(t) g(h) - \dfrac12\rho(h)C_a A\,v\lvert v\rvert}{m(t)},\\[6pt] \dot h = v,\\[3pt] \dot m = \dot m(t)\\ (\text{negativo enquanto há queima}). \end{cases}
  2. Dê condições iniciais: v(0)=v_0\], \(h(0)=h_0, m(0)=m_0. Também fixe funções/valores: T(t), \dot m(t), \rho(h), g(h).
  3. Escolha um método de integração (para exames e cálculo manual em poucos passos use Euler explícito com passo pequeno para idéia; para precisão use RK4). Exemplo RK4 para componente geral y com passo \Delta t:
k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f\Big(t_n+\tfrac{\Delta t}{2},y_n+\tfrac{\Delta t}{2}k_1\Big),\quad k_3=f\Big(t_n+\tfrac{\Delta t}{2},y_n+\tfrac{\Delta t}{2}k_2\Big),
k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+\Delta t k_3),\quad y_{n+1}=y_n+\frac{\Delta t}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4).
  1. Aplique essa integração ao vetor x (com f dada pelo lado direito do sistema). Em cada passo atualize \rho(h) e g(h) com a nova altitude se modeladas como função de h.
  2. Controle de eventos: pare ou mude T e \dot m quando o combustível acabar; trate separação de estágios como mudanças instantâneas em m, A e possivelmente C_a.
Para uma prova sem computador, pode-se:
  • aplicar a solução analítica no caso simplificado (Passo 5) quando válido;
  • ou fazer uma discretização grosseira (por exemplo usar Euler com \Delta t pequeno) para obter estimativa de v(t) e h(t) após alguns passos (mostrar passos numéricos).]

Passo 8

Outros refinamentos (mencionar para prova e para você saber o que pode ser acrescentado):
  • \rho(h) modelo exponencial \rho(h)=\rho_0 e^{-h/H} (importante para grandes altitudes).
  • C_a pode depender do número de Mach e do ângulo de ataque — para provas muitas vezes assume-se constante.
  • Modelo 3D: projetar velocidade relativa ar–foguete, incluir ângulos de ataque e componentes laterais do arrasto e sustentação.
  • Para foguetes de várias fases, aplicar o modelo por fases com saltos de massa e parâmetros.

Passo 9

Resumo prático para a prova (passo a passo que você pode reproduzir sob pressão):
  1. Escrever Newton: m\dot v = T - m g - \dfrac12\rho C_a A v\lvert v\rvert.
  2. Decidir hipóteses (massa constante? \rho constante? T constante?) — justificar rapidamente.
  3. Se puder assumir constantes e v\ge0, transformar em ODE separável e integrar (resultado com \operatorname{tanh}). Mostrar a solução e condição inicial.
  4. Caso realista (massa variável, \rho(h)), montar sistema de 1ª ordem e resolver numericamente (RK4 recomendado).

Resposta

(a) m\displaystyle\frac{dv}{dt}=T(t)-m\,g(h)-\frac{1}{2}\rho(h)\,C_{a}A\,v\lvert v\rvert,\qquad \frac{dh}{dt}=v,\qquad \frac{dm}{dt}=\dot m(t).
(b) Se m,\rho,g,T constantes e v\ge0: com k=\tfrac12\rho C_a A e F_0=T-mg>0 temos m\dot v=F_0-kv^2 e a solução é
v(t)=a\,\operatorname{tanh}\!\Big(\frac{a k}{m}t+\operatorname{arctanh}\!\big(\tfrac{v(0)}{a}\big)\Big),\qquad a=\sqrt{\frac{F_0}{k}}.
No caso geral (massa variável, \rho(h), T(t) etc.) não há solução fechada simples: montar o sistema de 1ª ordem do item (a) e integrar numericamente (p.ex. RK4), atualizando \rho(h) e eventos de queima/estágios.

Exercícios relacionados