- Sabendo que a força de arrasto é dada pela expressão abaixo:
Em que:
é a massa específica do ar;
o coeficiente de arrasto;
a velocidade relativa do foguete (foguete-ar) e
a área frontal projetada do foguete (normal a
).
(a) O que mudaria no modelo se adotássemos esse fenômeno? Construa o novo modelo simbólico.
(b) Como você solucionaria a equação para obter a dinâmica do sistema? Elabore o máximo possível.
(a) O que mudaria no modelo se adotássemos esse fenômeno? Construa o novo modelo simbólico.
(b) Como você solucionaria a equação para obter a dinâmica do sistema? Elabore o máximo possível.
Passo 1
O enunciado nos dá a força de arrasto
onde
é a massa específica do ar,
o coeficiente de arrasto,
a velocidade relativa foguete–ar e
a área frontal projetada.
Ele pede duas coisas:
(a) o que muda no modelo mecânico se incluirmos esse arrasto e construir o novo modelo simbólico;
(b) como resolver a equação para obter a dinâmica do sistema — elaborar o máximo possível (métodos analíticos quando possível e, caso contrário, numéricos), mostrando o passo a passo.
Ele pede duas coisas:
(a) o que muda no modelo mecânico se incluirmos esse arrasto e construir o novo modelo simbólico;
(b) como resolver a equação para obter a dinâmica do sistema — elaborar o máximo possível (métodos analíticos quando possível e, caso contrário, numéricos), mostrando o passo a passo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A fórmula de arrasto será adicionada como força externa que se opõe ao movimento.
- Não foram dados valores numéricos nem especificada dimensão (assumimos movimento vertical unidimensional para modelagem básica).
- Devemos considerar que o arrasto aponta sempre na direção oposta à velocidade relativa (ou seja, sua direção depende do sinal de
).
Passo 2
Relembrando o princípio físico básico que usamos: a 2ª lei de Newton. Em sua forma mais simples para movimento unidimensional (eixo vertical positivo para cima),
onde
é a massa do foguete (função do tempo se houver queima de combustível),
é a velocidade vertical do foguete e
é a soma algébrica das forças externas (empuxo/propulsão, peso, arrasto, etc.). Vou explicar cada termo que entra no modelo a seguir.
Passo 3
Incluir o arrasto implica adicionar uma força que sempre se opõe ao movimento. Para escrever isso de forma que a equação funcione para subida e descida sem ambiguidade, use a forma com
:
Explicação: se
(subida), então
e
atua para baixo; se
(descida),
e
atua para cima — sempre contrária ao sinal de
.
Assim, o modelo básico (1D vertical) com massa constante e empuxo
fica:
onde:
-
é a força de empuxo (positiva para cima); pode ser conhecida ou dada por sistema de propulsão; -
é a aceleração da gravidade que pode ser aproximada por uma constante ou por se quiser variação com altitude ; -
é a densidade do ar, que normalmente varia com altitude (ex.: , com altura de escala).
Além disso, para acompanhar posição (altitude) devemos integrar
Essas duas equações formam um sistema de 1ª ordem para o estado
. Se a massa varia (foguete queimando combustível), a modelagem muda, veja próximo passo.
Passo 4
Modelo com massa variável (mais realista para foguetes). Seja
a massa total do foguete (estrutura + combustível), e
a taxa de perda de massa por queima. A força de empuxo está relacionada ao escoamento de massa pelos gases de escapamento: tipicamente
onde
é a velocidade de exaustão relativa ao foguete (técnica:
é negativo, então
). A equação de movimento (momentum balance) incluindo arrasto e peso fica então
Complementarmente
Observação didática: escrever a forma com
é conveniente porque encapsula a força produzida pelo jato; se for preciso derivar
da dinâmica dos gases, pode fazer isso com o termo
. Para problemas de prova muitas vezes basta usar
conhecida (constante durante fase de queima, por exemplo).
Passo 5
Exemplo e resolução analítica em um caso simplificado (aula-prática): suponha simplificações razoáveis para obter solução fechada:
- massa constante
(pequena queima ou fase testada), - empuxo constante
, -
constante , - densidade
aproximadamente constante, - movimento para cima (
) — assim .
Defina as constantes
A equação reduz a
Agora resolvemos por separação de variáveis. Escreva
Defina
(assumindo
, i.e. empuxo maior que peso). Então
Integral esquerda conhecida:
Integramos e obtemos
Isolando
(usando função hiperbólica para escrita mais limpa) obtemos a forma compacta
onde
é fixado pela condição inicial
. Observe que
é a velocidade de regime (terminal) que o foguete alcança enquanto o empuxo neto
for mantido:
Se
(empuxo igual a peso), a equação vira
, que integra para
Passo 6
Interpretação física e limites:
- A presença do termo
(arrasto quadrático) torna a equação não linear; para casos simples (constantes e sinal de conhecido) é possível solução analítica com . - Se a massa varia ou
varia bastante, a solução fechada normalmente desaparece e recorremos a integrações numéricas. - Se o foguete reverter o sentido (descida), usar
garante sinal correto do arrasto.
Passo 7
Como resolver numericamente (metodologia passo‑a‑passo que dá para aplicar na prova ou implementar rápido):
- Escreva o sistema de 1ª ordem para o estado
- Dê condições iniciais:
,
. Também fixe funções/valores: , , , . - Escolha um método de integração (para exames e cálculo manual em poucos passos use Euler explícito com passo pequeno para idéia; para precisão use RK4). Exemplo RK4 para componente geral
com passo :
- Aplique essa integração ao vetor
(com dada pelo lado direito do sistema). Em cada passo atualize e com a nova altitude se modeladas como função de . - Controle de eventos: pare ou mude
e quando o combustível acabar; trate separação de estágios como mudanças instantâneas em , e possivelmente .
Para uma prova sem computador, pode-se:
- aplicar a solução analítica no caso simplificado (Passo 5) quando válido;
- ou fazer uma discretização grosseira (por exemplo usar Euler com
pequeno) para obter estimativa de e após alguns passos (mostrar passos numéricos).]
Passo 8
Outros refinamentos (mencionar para prova e para você saber o que pode ser acrescentado):
-
modelo exponencial (importante para grandes altitudes). -
pode depender do número de Mach e do ângulo de ataque — para provas muitas vezes assume-se constante. - Modelo 3D: projetar velocidade relativa ar–foguete, incluir ângulos de ataque e componentes laterais do arrasto e sustentação.
- Para foguetes de várias fases, aplicar o modelo por fases com saltos de massa e parâmetros.
Passo 9
Resumo prático para a prova (passo a passo que você pode reproduzir sob pressão):
- Escrever Newton:
. - Decidir hipóteses (massa constante?
constante? constante?) — justificar rapidamente. - Se puder assumir constantes e
, transformar em ODE separável e integrar (resultado com ). Mostrar a solução e condição inicial. - Caso realista (massa variável,
), montar sistema de 1ª ordem e resolver numericamente (RK4 recomendado).
Resposta
(a)
(b) Se
constantes e
: com
e
temos
e a solução é
No caso geral (massa variável,
,
etc.) não há solução fechada simples: montar o sistema de 1ª ordem do item (a) e integrar numericamente (p.ex. RK4), atualizando
e eventos de queima/estágios.