Questão 1 (1,125 pontos)

Ar seco, entrando a 20^{\circ} \mathrm{C} e saindo a 60^{\circ} \mathrm{C}, escoa através de um duto retangular com seção transversal de 5 cm por 5 cm com velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O regime de escoamento do ar é laminar desenvolvido, onde a temperatura das paredes do tubo é fixa e igual a 80^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando a região de entrada, determine a taxa de transferência de calor global nesse processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura de entrada do ar: T_{\text{in}}=20^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura de saída do ar: T_{\text{out}}=60^{\circ}\mathrm{C}.
    • Seção transversal do duto: 5\\ \mathrm{cm}\times5\\ \mathrm{cm}.
    • Velocidade do escoamento: v=3\\ \mathrm{m/s}.
    • Temperatura das paredes: T_w=80^{\circ}\mathrm{C} (fixa).
    • O ar é seco e o escoamento é laminar desenvolvido; despreza-se a região de entrada.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a taxa de transferência de calor global do processo (isto é, a potência térmica que o ar absorve do duto), em \mathrm{W}.
Observação prática que vou usar (hipóteses razoáveis): não foi dada a pressão do ar, então assumo pressão atmosférica padrão p=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Também usarei as propriedades do ar à temperatura média do escoamento para calcular a densidade e a capacidade calorífica: valor típico da capacidade calorífica a pressão constante do ar seco é c_p\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Vou justificar e mostrar o cálculo passo a passo.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal e o vazão volumétrica.
  • Converter a dimensão da seção para metros: 5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Área: A = 0{,}05\cdot0{,}05 = 0{,}0025\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Vazão volumétrica \dot{V} (área vezes velocidade): \dot{V}=A\,v = 0{,}0025\cdot3 = 0{,}0075\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Calcular a densidade do ar usando a equação dos gases ideais na temperatura média do escoamento.
  • A temperatura média (média aritmética entre entrada e saída) é um palpite razoável para as propriedades médias do escoamento: T_{\text{média}}=\frac{T_{\text{in}}+T_{\text{out}}}{2}=\frac{20+60}{2}=40^{\circ}\mathrm{C}=313{,}15\\ \mathrm{K}.é
  • Equação dos gases ideais para densidade: \rho=\frac{p}{R\,T},onde p é a pressão absoluta, R é a constante específica do ar ( R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e T a temperatura absoluta em \mathrm{K}.
  • Substituindo p=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e T=313{,}15\\ \mathrm{K}: \rho=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{287\cdot313{,}15}\\ \mathrm{kg/m^{3}}\approx1{,}128\\ \mathrm{kg/m^{3}}.(Aqui calculei o denominador 287\cdot313{,}15\approx8{,}9875\times10^{4} e o quociente dá o valor aproximado acima.)

Passo 4

Calcular a vazão mássica \dot{m}.
  • Relação entre vazão mássica, densidade e vazão volumétrica: \dot{m}=\rho\,\dot{V}.
  • Substituindo: \dot{m}=1{,}128\cdot0{,}0075\\ \mathrm{kg/s}\approx0{,}00846\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Escrever e explicar a balanço energético usado para obter a taxa de calor.
  • Para um escoamento em regime estacionário, desprezando variações de energia cinética e potencial e perdas internas, a taxa de calor fornecida ao fluido é dada por: \dot{Q}=\dot{m}\,c_{p}\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}).Explicação dos termos:
    • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência térmica) absorvida pelo ar, em \mathrm{W}.
    • \dot{m} é a vazão mássica do ar, em \mathrm{kg/s}.
    • c_{p} é a capacidade calorífica massica do ar a pressão constante, em \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Para ar seco em torno de temperaturas ambiente, uso c_{p}\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • (T_{\text{out}}-T_{\text{in}}) é a elevação de temperatura do ar em \mathrm{K} (mesma diferença em ^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Calcular numericamente \dot{Q}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}} = 60^{\circ}\mathrm{C}-20^{\circ}\mathrm{C} = 40\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo valores: \dot{Q} = 0{,}00846\cdot1005\cdot40\\ \mathrm{W}.
  • Fazer as contas: 1005\cdot40 = 40200,
\dot{Q}=0{,}00846\cdot40200\approx340{,}9\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência e arredondamento.
  • Ordem de grandeza: com vazão volumétrica \,7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s} e densidade \sim1{,}1\\ \mathrm{kg/m^{3}}, a vazão mássica é da ordem 10^{-2}\\ \mathrm{kg/s}. Multiplicando por c_p\sim10^{3} e \Delta T=40 resulta em algumas centenas de watts — compatível com o valor encontrado.
  • Arredondando para 3 algarismos significativos: \dot{Q}\approx341\\ \mathrm{W}.

Resposta

\dot{Q}\approx341\\ \mathrm{W}

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