Questão 4

( 2.0 poutos) Sen refrigerante de 500 mL estí a 20^{\circ} \mathrm{C}, temperatura ambiente; a seguir, voch adiona 100 g de gelo retirado do congelador a -20^{\circ} \mathrm{C}. O gelo derreterá inteiramente? Em caso afirmativo, qual serí a temperatura final? Em caso negativo, que fração do gelo derreterí? Suponha que voce disponha de un topo bem lsolado termicamente.
Darios: \rho_{\text {refri }}=\rho_{H_{2} O}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{\text {pela }}=2090 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . K_{1} c_{H_{2} O}=4190 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . K_{1} L_{f}^{\text {prea }}=3.33 \times 10^{5} \mathrm{~J} / \mathrm{kg}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte problema e pede o que segue.
Perguntas:
  1. O gelo derreterá inteiramente quando você acrescentar 100\\ \mathrm{g} de gelo a -20^\circ\mathrm{C} em 500\\ \mathrm{mL} de refrigerante a 20^\circ\mathrm{C}, num sistema termicamente isolado?
  2. Se sim, qual será a temperatura final do sistema? Se não, que fração do gelo derreterá?
Dados fornecidos (vou escrever claramente cada dado numérico):
\begin{aligned} &\text{Volume do refrigerante: } 500\\ \mathrm{mL} = 0{,}5\\ \mathrm{L} = 5\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3},\\\ &\rho_{\text{refrigerante}}=\rho_{H_2O}=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{Logo massa do refrigerante: } m_{\text{ref}} = \rho\cdot V = 10^{3}\cdot 5\times 10^{-4} = 0{,}5\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{Massa do gelo: } m_{\text{gelo}} = 100\\ \mathrm{g} = 0{,}1\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{Temperatura inicial do refrigerante: } T_{\text{ref,i}}=20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura inicial do gelo: } T_{\text{gelo,i}}=-20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Calor específico do gelo (sólido): } c_{\text{gelo}}=2090\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\\ &\text{Calor específico da água líquida: } c_{H_2O}=4190\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\\ &\text{Calor latente de fusão do gelo: } L_f=3{,}33\times 10^{5}\\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}íóíáíã
Observação: o sistema é termicamente isolado, logo a energia térmica perdida pelo refrigerante será igual à energia absorvida pelo gelo (conservação de energia). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Explicação do método (calorimetria por conservação de energia) e das fórmulas usadas.
Princípio físico que vamos usar: num sistema isolado, a soma dos calores (com sinal) é zero:
\sum Q = 0,
onde Q é o calor trocado por cada parte. Calor para uma variação de temperatura sem mudança de fase é dado por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa (kg), c o calor específico (J/(kg·K)) e \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} (K ou °C). Para mudança de fase (fusão) sem variação de temperatura usamos
Q_{\text{fusão}} = m\,L_f,ã
com L_f em J/kg.
Estratégia prática:
  1. Calcular o calor que o refrigerante pode ceder ao ser resfriado de 20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} (pois gelo e fusão ocorrem em torno de 0^\circ\mathrm{C}). Se esse calor for suficiente para (a) aquecer o gelo de -20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} e (b) fornecer a energia de fusão de m_{\text{gelo}}, então todo gelo derrete. Caso contrário, nem todo gelo derrete e temos que calcular a fração que funde.
  2. Se todo gelo derreter, calcular o calor remanescente e usar para elevar a temperatura final da massa total de água resultante.
Vou seguir essa estratégia passo a passo, explicando cada fórmula quando aplicada.

Passo 3

Calor que o refrigerante pode ceder ao ser resfriado de 20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
Fórmula: Q_{\text{cedido, ref}} = m_{\text{ref}}\,c_{H_2O}\,(T_{\text{ref,i}}-0^\circ\mathrm{C}).
Substituindo valores:
Q_{\text{cedido, ref}} = 0{,}5\cdot 4190\cdot (20-0)\\ \mathrm{J}.
Calcule passo a passo:
4190\cdot 20 = 83\,800,
0{,}5\cdot 83\,800 = 41\,900\\ \mathrm{J}.
Portanto
Q_{\text{cedido, ref}} = 41\,900\\ \mathrm{J}.
Interpretação: se todo esse calor for usado para aquecer e fundir o gelo, o refrigerante ficará a 0^\circ\mathrm{C} e não mais quente.

Passo 4

Calor necessário para elevar a temperatura do gelo de -20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
Fórmula: Q_{\text{aquec, gelo}} = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(0^\circ\mathrm{C}-T_{\text{gelo,i}}).
Substituindo valores:
Q_{\text{aquec, gelo}} = 0{,}1\cdot 2090\cdot (0-(-20))\\ \mathrm{J}.
Calcule:
(0-(-20)) = 20,
2090\cdot 20 = 41\,800,
0{,}1\cdot 41\,800 = 4\,180\\ \mathrm{J}.
Portanto
Q_{\text{aquec, gelo}} = 4\,180\\ \mathrm{J}.
Significado: precisa-se de 4{,}18\times 10^{3}\\ \mathrm{J} só para levar o gelo de -20^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calor necessário para fundir totalmente o gelo à 0^\circ\mathrm{C}.
Fórmula: Q_{\text{fusão total}} = m_{\text{gelo}}\,L_fã.
Substituindo:
Q_{\text{fusão total}} = 0{,}1\cdot 3{,}33\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.ã
Calcule:
0{,}1\cdot 3{,}33\times 10^{5} = 3{,}33\times 10^{4}\\ \mathrm{J} = 33\,300\\ \mathrm{J}.
Portanto
Q_{\text{fusão total}} = 33\,300\\ \mathrm{J}.ã

Passo 6

Energia total necessária para transformar o gelo de -20^\circ\mathrm{C} completamente em água líquida a 0^\circ\mathrm{C}.
Somamos o aquecimento do gelo até 0^\circ\mathrm{C} e a fusão:
Q_{\text{necessário}} = Q_{\text{aquec, gelo}} + Q_{\text{fusão total}} = 4\,180 + 33\,300 = 37\,480\\ \mathrm{J}.áã

Passo 7

Comparação entre energia disponível (cedida pelo refrigerante ao descer até 0^\circ\mathrm{C}) e energia necessária para aquecer+fundir todo o gelo.
Temos:
Q_{\text{cedido, ref}} = 41\,900\\ \mathrm{J},
Q_{\text{necessário}} = 37\,480\\ \mathrm{J}.á
Como 41\,900 > 37\,480, o refrigerante tem energia suficiente para aquecer o gelo a 0^\circ\mathrm{C} e fundi-lo completamente. Concluímos que o gelo derreterá inteiramente.
Além disso, haverá energia sobrando que elevará a temperatura do sistema final acima de 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Calcular o calor restante depois de aquecer e fundir todo o gelo.
Q_{\text{restante}} = Q_{\text{cedido, ref}} - Q_{\text{necessário}} = 41\,900 - 37\,480 = 4\,420\\ \mathrm{J}.á
Esse calor vai aquecer a massa total de água resultante (refrigerante original + água do gelo derretido) que agora tem massa
m_{\text{total}} = m_{\text{ref}} + m_{\text{gelo}} = 0{,}5 + 0{,}1 = 0{,}6\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Calcular a temperatura final T_f usando Q_{\text{restante}} = m_{\text{total}}\,c_{H_2O}\,(T_f-0^\circ\mathrm{C}).
Isolando T_f:
T_f = \frac{Q_{\text{restante}}}{m_{\text{total}}\,c_{H_2O}} + 0^\circ\mathrm{C}.
Substituindo valores:
T_f = \frac{4\,420}{0{,}6\cdot 4190}\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule passo a passo:
0{,}6\cdot 4190 = 2\,514,
\frac{4\,420}{2\,514}\approx 1{,}757.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
T_f \approx 1{,}76^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: temperatura final do sistema é pouco acima de 1{,}7^\circ\mathrm{C}.

Resposta

Sim.
Temperatura final: T_f \approx 1{,}76^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados