\hline 67. & Dois manômetros, A e B, são colocados num tubo horizontal, de seções variáveis, por onde circula água à velocidade de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, respectivamente. O manômetro colocado em A registra 24 \mathrm{N} / \mathrm{cm}^{2}. Calcule a pressão registrada pelo manômetro em B. (Dado: dágua =1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.) \

Passo 1

O enunciado dá um tubo horizontal com água que passa por dois pontos A e B, e pede a pressão registrada pelo manômetro em B. Dados fornecidos:
  • velocidade em A: v_A = 1,2\\ \mathrm{m/s};
  • velocidade em B: v_B = 1,5\\ \mathrm{m/s};
  • pressão medida em A: P_A = 24\\ \mathrm{N/cm^2};
  • densidade da água: d_{\text{água}} = 1\\ \mathrm{g/cm^3}á.
    Pergunta: calcular a pressão P_B registrada pelo manômetro em B.

Passo 2

O que vamos usar: conservação de energia para escoamento incompressível e estacionário entre dois pontos de um mesmo plano horizontal — a versão usual do teorema de Bernoulli sem termo de altura (porque o tubo é horizontal). A equação de Bernoulli entre A e B, escrita de forma simples, é
P_A + \tfrac{1}{2}\rho v_A^{2} = P_B + \tfrac{1}{2}\rho v_B^{2},
onde:
  • P_A e P_B são as pressões estáticas em A e B (o que os manômetros registram);
  • \rho é a densidade da água em \mathrm{kg/m^3};
  • v_A e v_B são as velocidades nos pontos A e B.
    Rearranjando para P_B temos
P_B = P_A + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_A^{2}-v_B^{2}\right).
Explicação curta: se a velocidade aumenta, parte da “energia de pressão” vira energia cinética e a pressão cai; a equação acima reflete essa troca.

Passo 3

Converter todas as grandezas para unidades SI consistentes (Pa, m/s, kg/m^3):
  • pressão P_A = 24\\ \mathrm{N/cm^2}. Como 1\\ \mathrm{N/cm^2} = 10^{4}\\ \mathrm{Pa}, então
P_A = 24\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} = 2,4\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • densidade: d_{\text{água}} = 1\\ \mathrm{g/cm^3}á. Em SI, 1\\ \mathrm{g/cm^3} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, logo \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • velocidades já estão em \mathrm{m/s}: v_A = 1,2\\ \mathrm{m/s}, v_B = 1,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a diferença dos termos dinâmicos \tfrac{1}{2}\rho(v_A^{2}-v_B^{2}).
Primeiro os quadrados das velocidades:
v_A^{2} = (1,2)^{2} = 1,44\\ \mathrm{(m^2/s^2)},
v_B^{2} = (1,5)^{2} = 2,25\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
A diferença é
v_A^{2}-v_B^{2} = 1,44-2,25 = -0,81\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Agora multiplico por \tfrac{1}{2}\rho:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_A^{2}-v_B^{2}\right) = \tfrac{1}{2}\times 1000\times(-0,81) = 500\times(-0,81) = -405\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: o termo é negativo porque v_B>v_A, ou seja, a pressão em B deve ser menor que em A por causa do aumento de velocidade.

Passo 5

Aplicar a fórmula rearranjada para obter P_B:
P_B = P_A + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_A^{2}-v_B^{2}\right) = 2,4\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} - 405\\ \mathrm{Pa} = 239595\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Converter a resposta para a unidade pedida no enunciado, que usou \mathrm{N/cm^2}. Como 1\\ \mathrm{N/cm^2}=10^{4}\\ \mathrm{Pa}, divide-se por 10^{4}:
P_B = \frac{239595}{10^{4}}\\ \mathrm{N/cm^2} = 23,9595\\ \mathrm{N/cm^2}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) temos P_B \approx 23,96\\ \mathrm{N/cm^2}.

Resposta

23,96\\ \mathrm{N/cm^2}

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