Questão 6)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se determine a função
de modo que a equação seja exata. As informações relevantes são:
-
. -
. - A condição de exatidão para uma equação da forma
é
O objetivo: achar
que satisfaça essa igualdade para todos
(na região considerada).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais indicadas, com cuidado para lembrar que
é função apenas de
:
- Diferenciando
em relação a :
porque
é constante em relação a
e a derivada de
é
.
- Diferenciando
em relação a :
pois
é tratado como constante quando derivamos em relação a
, e a derivada de
é
.
Passo 3
Impor a condição de exatidão
. Substituindo as derivadas calculadas:
Essa igualdade deve valer para todos
e
na região onde a equação é considerada.
Passo 4
Como a igualdade anterior é uma identidade em
, podemos dividir ambos os lados por
(isso é válido na região onde
; além disso a identidade como polinômio em
implica igualdade dos coeficientes em
, o que dá o mesmo resultado). Assim obtemos uma equação que envolve apenas
:
Isto faz sentido:
não pode depender de
, logo ao cancelar
obtemos uma relação apenas em
.
Passo 5
Integrar a equação
para obter
. Integração passo a passo:
A primitiva de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração (constante real).
Passo 6
Verificação rápida: com
tem-se
, então
logo a condição de exatidão é satisfeita.
Passo 7
(se quiser também obter a solução implícita da equação exata) Encontrar a função potencial
tal que
e
. Integrando
em
:
onde
é uma função a determinar. Diferenciando em
:
Igualando
a
obtemos
. Integrando:
Assim a constante de movimento implícita é
Pode-se reescrever, por exemplo, como
onde
é outra constante arbitrária.