Questão 6)
\left(y^{2} \operatorname{sen} x\right) d x+y f(x) d y=0
\begin{aligned} & M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 \\\ & M(x, y)=y^{2} \sin x \text { e } N(x, y)=y f(x) \\\ & \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \\\ & \frac{\partial M}{\partial y}\left(y^{2} \operatorname{sen} x\right)=2 y \operatorname{sen} x \\\ & \frac{\partial N}{\partial x}(y f(x))=y f^{\prime}(x) \\\ & 2 y \sin x=y f^{\prime}(x) \\\ & f^{\prime}(x)=2 y \operatorname{sen} x \\\ & f(x)=2 \operatorname{sen} x \\\ & f(x)=\int 2 \operatorname{sen} x \\\ & \operatorname{solução}: f(x)=-2 \cos x+C \end{aligned}̧

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y^{2}\sin x\right)\,dx + y\,f(x)\,dy = 0
e pede que se determine a função f(x) de modo que a equação seja exata. As informações relevantes são:
  • M(x,y)=y^{2}\sin x.
  • N(x,y)=y\,f(x).
  • A condição de exatidão para uma equação da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
O objetivo: achar f(x) que satisfaça essa igualdade para todos x,y (na região considerada).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais indicadas, com cuidado para lembrar que f é função apenas de x:
  • Diferenciando M(x,y)=y^{2}\sin x em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y\sin x,
porque \sin x é constante em relação a y e a derivada de y^{2} é 2y.
  • Diferenciando N(x,y)=y\,f(x) em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=y\,f'(x),
pois y é tratado como constante quando derivamos em relação a x, e a derivada de f(x) é f'(x).

Passo 3

Impor a condição de exatidão \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}. Substituindo as derivadas calculadas:
2y\sin x = y\,f'(x).
Essa igualdade deve valer para todos x e y na região onde a equação é considerada.

Passo 4

Como a igualdade anterior é uma identidade em y, podemos dividir ambos os lados por y (isso é válido na região onde y\neq 0; além disso a identidade como polinômio em y implica igualdade dos coeficientes em y, o que dá o mesmo resultado). Assim obtemos uma equação que envolve apenas x:
f'(x)=2\sin x.
Isto faz sentido: f'(x) não pode depender de y, logo ao cancelar y obtemos uma relação apenas em x.

Passo 5

Integrar a equação f'(x)=2\sin x para obter f(x). Integração passo a passo:
f(x)=\int 2\sin x\,dx.
A primitiva de \sin x é -\cos x. Portanto
f(x)=-2\cos x + C,
onde C é a constante de integração (constante real).

Passo 6

Verificação rápida: com f(x)=-2\cos x + C tem-se f'(x)=2\sin x, então
\frac{\partial N}{\partial x}=y\,f'(x)=y\cdot 2\sin x=2y\sin x=\frac{\partial M}{\partial y},
logo a condição de exatidão é satisfeita.

Passo 7

(se quiser também obter a solução implícita da equação exata) Encontrar a função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N. Integrando M em x:
\Psi(x,y)=\int y^{2}\sin x\,dx = -y^{2}\cos x + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar. Diferenciando em y:
\Psi_y=-2y\cos x + g'(y).
Igualando \Psi_y a N=y\,f(x)=y(-2\cos x + C)=-2y\cos x + C y obtemos g'(y)=C y. Integrando:
g(y)=\frac{C}{2}y^{2} + C_1.
Assim a constante de movimento implícita é
\Psi(x,y)=-y^{2}\cos x + \frac{C}{2}y^{2} = \text{constante}.
Pode-se reescrever, por exemplo, como
y^{2}\bigl(-2\cos x + C\bigr)=\tilde{C},
onde \tilde{C} é outra constante arbitrária.

Resposta

f(x)=-2\cos x + C

Exercícios relacionados