Questão 2. Nos problemas de 1 a 8:
(1) d x / d t=2 y, d y / d t=8 x
(2) d x / d t=2 y, d y / d t=-8 x
(3) d x / d t=y, d y / d t=2 x+y
(4) d x / d t=-x+y, d y / d t=x+y
(5) d x / d t=-x+y+x^{2}, d y / d t=y-2 x y
(6) d x / d t=2 x^{2} y-3 x^{2}-4 y, d y / d t=-2 x y^{2}+6 x y
(7) Pêndulo não amortecido: d x / d t=y, d y / d t=-\operatorname{sen} x
(8) Equação de Duffing: d x / d t=y, d y / d t=-x+\left(x^{3} / 6\right)
a) Encontre uma equação da forma H(x, y)=c para as trajetórias.
b) Desenhe diversas curvas de nível para a função H. Essas são as trajetórias do sistema dado. Indique o sentido do movimento em cada trajetória.

Passo 1

O enunciado dá oito sistemas autônomos no plano, numerados de (1) a (8). Para cada sistema pede-se:
(a) encontrar uma equação implícita da forma H(x,y)=c que descreva as trajetórias (isto é, uma constante de movimento / integral primeira);
(b) desenhar (descrever) as curvas de nível de H — que são as trajetórias — e indicar o sentido do movimento ao longo de cada trajetória.
As informações fornecidas (peguei do enunciado) são os campos vetoriais (\dot x,\dot y) para cada caso:
(1) \dot x=2y,\\ \dot y=8x.
(2) \dot x=2y,\\ \dot y=-8x.
(3) \dot x=y,\\ \dot y=2x+y.
(4) \dot x=-x+y,\\ \dot y=x+y.
(5) \dot x=-x+y+x^{2},\\ \dot y=y-2xy.
(6) \dot x=2x^{2}y-3x^{2}-4y,\\ \dot y=-2xy^{2}+6xy.
(7) Pêndulo: \dot x=y,\\ \dot y=-\sin x.
(8) Duffing: \dot x=y,\\ \dot y=-x+\dfrac{x^{3}}{6}.

Passo 2

Método geral e ideias que vou usar (aula rápida e prática).
  • As trajetórias no plano satisfazem a equação de trajetória (equação das curvas integradas)
\frac{dy}{dx}=\frac{\dot y}{\dot x}.
  • Reescrevendo essa equação em forma diferencial, uma forma conveniente é
\dot x\,dy-\dot y\,dx=0.
Essa é uma 1-forma \omega=-\dot y\,dx+\dot x\,dy. Se \omega for exata, existe H(x,y) tal que
\frac{\partial H}{\partial x}=-\dot y,\qquad \frac{\partial H}{\partial y}=\dot x,
ou seja dH=\omega e então H(x,y)=\text{const} nas trajetórias. Quando \omega não for imediatamente exata, ainda posso tentar integrar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dot y}{\dot x} com separação ou trocas de variável (por exemplo v=y/x) até obter uma relação implícita H(x,y)=c.
  • Depois de achar H, as curvas H(x,y)=c são as trajetórias. O sentido do movimento numa curva é dado pelo campo (\dot x,\dot y): por exemplo, se \dot x>0 no ponto, a trajetória vai para a direita aí; se \dot y>0 vai para cima, etc. Para fechar: indicarei o sentido por avaliar o campo em pontos representativos.
Agora aplico esse método caso a caso, mostrando passos para integrar explicitamente.

Passo 3

Sistema (1): \dot x=2y,\\ \dot y=8x.
  • Escrevo a equação da trajetória:
\frac{dy}{dx}=\frac{8x}{2y}=\frac{4x}{y}.
  • Esta equação é separável: multiplico ambos os lados por y\,dx:
y\,dy=4x\,dx.
  • Integro ambos os lados:
\frac{1}{2}y^{2}=2x^{2}+C.
  • Isolo a forma desejada H(x,y)=c; multiplicando por 2 e reorganizando:
y^{2}-4x^{2}=C',
portanto uma escolha conveniente é
H(x,y)=y^{2}-4x^{2}.
  • Curvas: são hipérboles y^{2}-4x^{2}=c.
  • Sentido do movimento: no ponto (x,y), \dot x=2y e \dot y=8x. Por exemplo, para x>0,y>0 ambos positivos, o movimento é para nordeste (aumentam x e y). Em particular, sobre a ramificação com y>0 o movimento é para a direita ( \dot x>0), sobre a ramificação com y<0 é para a esquerda ( \dot x<0). Assim cada ramo da hipérbole tem movimento no sentido que aumenta ambas coordenadas quando x,y>0, etc.

Passo 4

Sistema (2): \dot x=2y,\\ \dot y=-8x.
  • Equação de trajetória:
\frac{dy}{dx}=\frac{-8x}{2y}=-\frac{4x}{y}.
  • Separável: y\,dy=-4x\,dx. Integrando:
\frac{1}{2}y^{2}=-2x^{2}+C.
  • Reescrevo:
y^{2}+4x^{2}=C',
logo uma boa escolha é
H(x,y)=y^{2}+4x^{2}.
  • Curvas: elipses centradas na origem.
  • Sentido do movimento: avaliar no ponto (x,0) com x>0: \dot x=0,\\ \dot y=-8x<0, então ao partir do ponto mais à direita a trajetória desce; isso mostra que o movimento é no sentido horário (se vier do ponto direito desce para baixo, segue para a esquerda e depois para cima etc.). Portanto as órbitas fechadas são percorridas no sentido horário.

Passo 5

Sistema (3): \dot x=y,\\ \dot y=2x+y.
  • Escrevo a equação das trajetórias:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y}{y}=1+\frac{2x}{y}.
  • Faço a mudança v=\dfrac{y}{x} (método homogêneo), ou equivalentemente v=y/x. Então y=vx e
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
  • Substituo na equação:
v+x\frac{dv}{dx}=1+\frac{2x}{vx}=1+\frac{2}{v}.
  • Isolo dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\left(1+\frac{2}{v}\right)-v=\frac{1+2/v - v}{1}=\frac{1+2/v - v}{1}.
  • Coloco em forma separável; é mais prático escrever em termos de v como
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+2/v - v}{1}=\frac{1+2/v - v}{1}=\frac{1+2/v - v}{1}.
Para integrar, multiplico por \dfrac{v}{(v-2)(v+1)} (faço as contas explicadas abaixo):
os cálculos levam a
-\,\frac{v}{(v-2)(v+1)}\,dv=\frac{dx}{x}.
  • Decompondo em frações parciais e integrando obtém-se (detalhes algébricos: v/(v-2)(v+1)=\dfrac{2/3}{v-2}+\dfrac{1/3}{v+1}):
-\,\frac{2}{3}\ln|v-2|-\frac{1}{3}\ln|v+1|=\ln|x|+C.
  • Exponenciando e reescrevendo em x,y (lembre que v=y/x) chegamos a uma relação polinomial simples:
(y-2x)^{2}(y+x)=C',
logo podemos escolher
H(x,y)=(y-2x)^{2}(y+x).
  • Curvas: são definidas implicitamente por (y-2x)^{2}(y+x)= constante; em geral são curvas algébricas do 3º grau com comportamento diferente em torno da origem conforme o sinal da constante.
  • Sentido do movimento: \dot x=y. Assim sempre que y>0 a trajetória vai para a direita; quando y<0 vai para a esquerda. Pode-se avaliar o campo em pontos exemplares de cada ramo para indicar a orientação local.

Passo 6

Sistema (4): \dot x=-x+y,\\ \dot y=x+y.
  • Escrevo
\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{-x+y}.
  • Faço a substituição v=y/x, de modo que y=vx e \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}. Substituindo:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v}{v-1}.
  • Isolo e simplifico (colocando w=v-1 facilita); depois de separar e integrar (detalhes algébricos: reduzi a integral a -\tfrac{1}{2}\ln\big((v-1)^{2}-2\big)=\ln|x|+C) obtemos, voltando a x,y,
(y-x)^{2}-2x^{2}=C,
ou, reorganizando,
H(x,y)=y^{2}-2xy-x^{2}.
  • Curvas: são conicas quadráticas (dependendo de C podem ser elipses, hipérboles ou parábolas degeneradas).
  • Sentido do movimento: por exemplo em (1,0) temos \dot x=-1,\\ \dot y=1 (o vetor é para noroeste), então o movimento passa por esse ponto indo para cima-esquerda; avaliando outros pontos obtem-se a orientação global das curvas para cada nível de H.

Passo 7

Sistema (5): \dot x=-x+y+x^{2},\\ \dot y=y-2xy.
  • Vou usar a forma diferencial exata: construo a 1-forma
\omega=-\dot y\,dx+\dot x\,dy=-(y-2xy)\,dx+(-x+y+x^{2})\,dy.
  • Calculo derivadas parciais: \partial(-\dot y)/\partial y=\partial[-(y-2xy)]/\partial y=-(1-2x)=2x-1 e \partial(\dot x)/\partial x=\partial(-x+y+x^{2})/\partial x=-1+2x. Como são iguais, \omega é exata. Logo existe H com
\frac{\partial H}{\partial x}=-(y-2xy)=y(2x-1),\qquad \frac{\partial H}{\partial y}=-x+y+x^{2}.
  • Integro \partial H/\partial x em x:
H(x,y)=\int y(2x-1)\,dx = y(x^{2}-x)+g(y).
  • Derivo em y e comparo com \partial H/\partial y:
\frac{\partial H}{\partial y}=x^{2}-x+g'(y)\stackrel{!}{=}-x+y+x^{2},
portanto g'(y)=y e g(y)=\tfrac{1}{2}y^{2}.
  • Assim uma integral primeira é
H(x,y)=x^{2}y-xy+\tfrac{1}{2}y^{2}.
  • Curvas: níveis x^{2}y-xy+\tfrac{1}{2}y^{2}=c são curvas algébricas; próximo à origem pode-se estudar estabilidade, etc.
  • Sentido do movimento: por exemplo, sobre a linha y=0, \dot x=-x+x^{2}; então em (0,0) o vetor é nulo; em (1,0) tem \dot x=0, \dot y=0 (equilíbrio); em geral avalia-se \dot x e \dot y em pontos da curva para determinar a orientação local.

Passo 8

Sistema (6): \dot x=2x^{2}y-3x^{2}-4y,\\ \dot y=-2xy^{2}+6xy.
  • Construo a 1-forma exata:
\omega=-\dot y\,dx+\dot x\,dy = -(-2xy^{2}+6xy)\,dx + (2x^{2}y-3x^{2}-4y)\,dy.
  • Calculo parciais: \partial(-\dot y)/\partial y=\partial(2xy^{2}-6xy)/\partial y=4xy-6x. E \partial(\dot x)/\partial x=\partial(2x^{2}y-3x^{2}-4y)/\partial x=4xy-6x. Iguais, logo exata.
  • Tome H_x= -\dot y = 2xy^{2}-6xy. Integro em x:
H(x,y)=\int (2xy^{2}-6xy)\,dx = x^{2}y^{2}-3x^{2}y + h(y).
  • Derivo em y e igualo a \dot x:
\frac{\partial H}{\partial y}=2x^{2}y-3x^{2}+h'(y)\stackrel{!}{=}2x^{2}y-3x^{2}-4y,
portanto h'(y)=-4y e h(y)=-2y^{2}.
  • Assim
H(x,y)=x^{2}y^{2}-3x^{2}y-2y^{2}.
  • Curvas: x^{2}y^{2}-3x^{2}y-2y^{2}=c. São curvas algébricas de grau 4 em geral; o campo preserva H.
  • Sentido do movimento: escolhe-se pontos representativos, por exemplo para x>0,y>0 calcula-se (\dot x,\dot y) para saber se o movimento sobe/da direita etc.

Passo 9

Sistema (7) — pêndulo não amortecido: \dot x=y,\\ \dot y=-\sin x.
  • Escrevo a equação das trajetórias:
\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin x}{y}.
  • Multiplico por y\,dx e integro:
y\,dy + \sin x\,dx =0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}y^{2}-\cos x=C.
  • Portanto posso tomar
H(x,y)=\tfrac{1}{2}y^{2}-\cos x.
(ou a energia E=\tfrac{1}{2}y^{2}+(1-\cos x) se preferir; são ambas integrais primeiras equivalentes a constantes aditivas).
  • Curvas: níveis de energia; para pequenas energias obtemos curvas fechadas (oscilações libracionais) em torno de x=0; para energia maior que certo valor aparecem curvas que representam rotações (movimento onde x aumenta indefinidamente modulo 2\pi).
  • Sentido do movimento: como \dot x=y, quando y>0 o ângulo x aumenta (movimento para a direita no diagrama de fase), quando y<0 diminui. Assim, sobre uma órbita fechada, a partícula sobe em x quando y>0 e volta quando y<0.

Passo 10

Sistema (8) — Duffing: \dot x=y,\\ \dot y=-x+\dfrac{x^{3}}{6}.
  • Escrevo
\frac{dy}{dx}=\frac{-x+\tfrac{x^{3}}{6}}{y}.
  • Multiplico por y\,dx e integro:
y\,dy + \left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)dx=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}y^{2}+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{24}x^{4}=C.
  • Logo uma integral primeira conveniente é
H(x,y)=\tfrac{1}{2}y^{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{24}x^{4}.
  • Curvas: níveis desta função — para pequenas amplitudes a função efetiva tem um mínimo em x=0 levando a órbitas fechadas; para amplitudes maiores aparecem múltiplos poços e possíveis órbitas conectando pontos de sela, dependendo da energia.
  • Sentido do movimento: novamente \dot x=y dá a orientação: acima do eixo y>0 a variável x cresce; abaixo y<0 diminui.

Resposta

(1) H(x,y)=y^{2}-4x^{2}=c. Sentido: ramo com y>0 move-se para a direita ( \dot x=2y>0); com y<0 move-se para a esquerda.
(2) H(x,y)=y^{2}+4x^{2}=c. Sentido: elipses percorridas no sentido horário.
(3) H(x,y)=(y-2x)^{2}(y+x)=c. Sentido: avaliar \dot x=y e \dot y=2x+y; por exemplo, onde y>0 o movimento é para a direita, onde y<0 para a esquerda (orientação dada ponto a ponto pelo campo).
(4) H(x,y)=y^{2}-2xy-x^{2}=c. Sentido: avaliar (\dot x,\dot y)=(-x+y,x+y) em pontos representativos; por exemplo em (1,0) o vetor é (-1,1) (noroeste).
(5) H(x,y)=x^{2}y-xy+\tfrac{1}{2}y^{2}=c. Sentido: curvas dadas por esse polinômio; orientação local dada por (\dot x,\dot y)=(-x+y+x^{2},\,y-2xy).
(6) H(x,y)=x^{2}y^{2}-3x^{2}y-2y^{2}=c. Sentido: curvas de nível preservadas; o sentido em cada ponto obtém-se avaliando (\dot x,\dot y).
(7) H(x,y)=\tfrac{1}{2}y^{2}-\cos x=c. Sentido: formas de energia; quando y>0 o ângulo x aumenta ( \dot x>0), quando y<0 diminui.
(8) H(x,y)=\tfrac{1}{2}y^{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{24}x^{4}=c. Sentido: \dot x=y dá a orientação; níveis baixos são órbitas fechadas com sentido determinado por y (para y>0 a abscissa cresce).

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