Questão 2. Nos problemas de 1 a 8:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) Pêndulo não amortecido:
(8) Equação de Duffing:
a) Encontre uma equação da forma
para as trajetórias.
b) Desenhe diversas curvas de nível para a função
. Essas são as trajetórias do sistema dado. Indique o sentido do movimento em cada trajetória.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) Pêndulo não amortecido:
(8) Equação de Duffing:
a) Encontre uma equação da forma
b) Desenhe diversas curvas de nível para a função
Passo 1
O enunciado dá oito sistemas autônomos no plano, numerados de (1) a (8). Para cada sistema pede-se:
(a) encontrar uma equação implícita da forma que descreva as trajetórias (isto é, uma constante de movimento / integral primeira);
(b) desenhar (descrever) as curvas de nível de — que são as trajetórias — e indicar o sentido do movimento ao longo de cada trajetória.
(a) encontrar uma equação implícita da forma
(b) desenhar (descrever) as curvas de nível de
As informações fornecidas (peguei do enunciado) são os campos vetoriais
para cada caso:
(1) .
(2) .
(3) .
(4) .
(5) .
(6) .
(7) Pêndulo: .
(8) Duffing: .
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) Pêndulo:
(8) Duffing:
Passo 2
Método geral e ideias que vou usar (aula rápida e prática).
- As trajetórias no plano satisfazem a equação de trajetória (equação das curvas integradas)
- Reescrevendo essa equação em forma diferencial, uma forma conveniente é
Essa é uma 1-forma
. Se
for exata, existe
tal que
ou seja
e então
nas trajetórias. Quando
não for imediatamente exata, ainda posso tentar integrar
com separação ou trocas de variável (por exemplo
) até obter uma relação implícita
.
- Depois de achar
, as curvas são as trajetórias. O sentido do movimento numa curva é dado pelo campo : por exemplo, se no ponto, a trajetória vai para a direita aí; se vai para cima, etc. Para fechar: indicarei o sentido por avaliar o campo em pontos representativos.
Agora aplico esse método caso a caso, mostrando passos para integrar explicitamente.
Passo 3
Sistema (1):
.
- Escrevo a equação da trajetória:
- Esta equação é separável: multiplico ambos os lados por
:
- Integro ambos os lados:
- Isolo a forma desejada
; multiplicando por 2 e reorganizando:
portanto uma escolha conveniente é
- Curvas: são hipérboles
. - Sentido do movimento: no ponto
, e . Por exemplo, para ambos positivos, o movimento é para nordeste (aumentam e ). Em particular, sobre a ramificação com o movimento é para a direita ( ), sobre a ramificação com é para a esquerda ( ). Assim cada ramo da hipérbole tem movimento no sentido que aumenta ambas coordenadas quando , etc.
Passo 4
Sistema (2):
.
- Equação de trajetória:
- Separável:
. Integrando:
- Reescrevo:
logo uma boa escolha é
- Curvas: elipses centradas na origem.
- Sentido do movimento: avaliar no ponto
com : , então ao partir do ponto mais à direita a trajetória desce; isso mostra que o movimento é no sentido horário (se vier do ponto direito desce para baixo, segue para a esquerda e depois para cima etc.). Portanto as órbitas fechadas são percorridas no sentido horário.
Passo 5
Sistema (3):
.
- Escrevo a equação das trajetórias:
- Faço a mudança
(método homogêneo), ou equivalentemente . Então e
- Substituo na equação:
- Isolo
:
- Coloco em forma separável; é mais prático escrever em termos de
como
Para integrar, multiplico por
(faço as contas explicadas abaixo):
os cálculos levam a
os cálculos levam a
- Decompondo em frações parciais e integrando obtém-se (detalhes algébricos:
):
- Exponenciando e reescrevendo em
(lembre que ) chegamos a uma relação polinomial simples:
logo podemos escolher
- Curvas: são definidas implicitamente por
constante; em geral são curvas algébricas do 3º grau com comportamento diferente em torno da origem conforme o sinal da constante. - Sentido do movimento:
. Assim sempre que a trajetória vai para a direita; quando vai para a esquerda. Pode-se avaliar o campo em pontos exemplares de cada ramo para indicar a orientação local.
Passo 6
Sistema (4):
.
- Escrevo
- Faço a substituição
, de modo que e . Substituindo:
- Isolo e simplifico (colocando
facilita); depois de separar e integrar (detalhes algébricos: reduzi a integral a ) obtemos, voltando a ,
ou, reorganizando,
- Curvas: são conicas quadráticas (dependendo de
podem ser elipses, hipérboles ou parábolas degeneradas). - Sentido do movimento: por exemplo em
temos (o vetor é para noroeste), então o movimento passa por esse ponto indo para cima-esquerda; avaliando outros pontos obtem-se a orientação global das curvas para cada nível de .
Passo 7
Sistema (5):
.
- Vou usar a forma diferencial exata: construo a 1-forma
- Calculo derivadas parciais:
e . Como são iguais, é exata. Logo existe com
- Integro
em :
- Derivo em
e comparo com :
portanto
e
.
- Assim uma integral primeira é
- Curvas: níveis
são curvas algébricas; próximo à origem pode-se estudar estabilidade, etc. - Sentido do movimento: por exemplo, sobre a linha
, ; então em o vetor é nulo; em tem , (equilíbrio); em geral avalia-se e em pontos da curva para determinar a orientação local.
Passo 8
Sistema (6):
.
- Construo a 1-forma exata:
- Calculo parciais:
. E . Iguais, logo exata. - Tome
. Integro em :
- Derivo em
e igualo a :
portanto
e
.
- Assim
- Curvas:
. São curvas algébricas de grau 4 em geral; o campo preserva . - Sentido do movimento: escolhe-se pontos representativos, por exemplo para
calcula-se para saber se o movimento sobe/da direita etc.
Passo 9
Sistema (7) — pêndulo não amortecido:
.
- Escrevo a equação das trajetórias:
- Multiplico por
e integro:
- Portanto posso tomar
(ou a energia
se preferir; são ambas integrais primeiras equivalentes a constantes aditivas).
- Curvas: níveis de energia; para pequenas energias obtemos curvas fechadas (oscilações libracionais) em torno de
; para energia maior que certo valor aparecem curvas que representam rotações (movimento onde aumenta indefinidamente modulo ). - Sentido do movimento: como
, quando o ângulo aumenta (movimento para a direita no diagrama de fase), quando diminui. Assim, sobre uma órbita fechada, a partícula sobe em quando e volta quando .
Passo 10
Sistema (8) — Duffing:
.
- Escrevo
- Multiplico por
e integro:
- Logo uma integral primeira conveniente é
- Curvas: níveis desta função — para pequenas amplitudes a função efetiva tem um mínimo em
levando a órbitas fechadas; para amplitudes maiores aparecem múltiplos poços e possíveis órbitas conectando pontos de sela, dependendo da energia. - Sentido do movimento: novamente
dá a orientação: acima do eixo a variável cresce; abaixo diminui.
Resposta
(1)
Sentido: ramo com
move-se para a direita (
); com
move-se para a esquerda.
(2)
Sentido: elipses percorridas no sentido horário.
(3)
Sentido: avaliar
e
; por exemplo, onde
o movimento é para a direita, onde
para a esquerda (orientação dada ponto a ponto pelo campo).
(4)
Sentido: avaliar
em pontos representativos; por exemplo em
o vetor é
(noroeste).
(5)
Sentido: curvas dadas por esse polinômio; orientação local dada por
.
(6)
Sentido: curvas de nível preservadas; o sentido em cada ponto obtém-se avaliando
.
(7)
Sentido: formas de energia; quando
o ângulo
aumenta (
), quando
diminui.
(8)
Sentido:
dá a orientação; níveis baixos são órbitas fechadas com sentido determinado por
(para
a abscissa cresce).