Questão 3 - Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98 . Dessa forma, pede-se:
a) Qual a função de probabilidade para o número de sementes NÃO germinadas em cada pacote? Qual o número médio de sementes que não germinam em cada pacote?
b) Se os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. Qual é a probabilidade de que um pacote seja indenizado?
c) Se o produtor vender 1.000 pacotes, quantos pacotes ele espera indenizar?
a) Qual a função de probabilidade para o número de sementes NÃO germinadas em cada pacote? Qual o número médio de sementes que não germinam em cada pacote?
b) Se os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. Qual é a probabilidade de que um pacote seja indenizado?
c) Se o produtor vender 1.000 pacotes, quantos pacotes ele espera indenizar?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
- Informações dadas:
- Cada pacote tem
sementes. - A probabilidade de uma semente germinar é
. Portanto a probabilidade de NÃO germinar é .
- Cada pacote tem
- Perguntas:
a) Qual a função de probabilidade para o número de sementes NÃO germinadas em cada pacote? Qual o número médio de sementes que não germinam em cada pacote?
b) Qual é a probabilidade de que um pacote seja indenizado (isto é, tenha mais de uma semente sem germinar)?
c) Se o produtor venderpacotes, quantos pacotes ele espera indenizar?
Passo 2
Modelagem e definição da distribuição (explicação didática).
- Quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui
sementes) e cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso/fracasso, o número de ocorrências de um evento (aqui: semente NÃO germinar) segue a distribuição binomial. A binomial é o modelo natural para “contar quantas sementes falham” porque: - temos
ensaios fixos e independentes ( ); - cada ensaio tem duas possibilidades (germinar ou não germinar);
- a probabilidade de “sucesso” (aqui, sucesso = não germinar) é constante em cada semente (
).
- temos
- A função de probabilidade da binomial é dada por (vou colocar em formato de fórmula isolada):
- Aqui
é a probabilidade de exatamente sementes NÃO germinarem. -
é o número de maneiras de escolher quais sementes falham entre as . -
é a probabilidade de essas selecionadas falharem. -
é a probabilidade das restantes germinarem.
Passo 3
Cálculo do número médio (esperança) — teoria + aplicação.
- Para uma variável aleatória
com distribuição binomial , a esperança (número médio) é
- Aqui
é o número de ensaios e é a probabilidade de “sucesso” na definição da binomial (no nosso caso “sucesso” = não germinar). - Aplicando com
e :
- Interpretação prática: em média há
sementes que não germinam por pacote (menos de meia semente por pacote, em média).
Passo 4
Probabilidade de indenização: estratégia e fórmula (explicação didática).
- Um pacote é indenizado se tiver mais de uma semente sem germinar, isto é se
. - É mais fácil calcular
por complementar:
- Vamos calcular
e usando a fórmula da binomial.
Passo 5
Cálculo de
e
passo a passo.
- Primeiro,
- Podemos calcular isso por multiplicações sucessivas; o valor numérico é
- Em seguida,
- Note que
, então
- Usando
(isto vem de ), obtemos
Passo 6
Cálculo da probabilidade de indenizar (juntando os resultados).
- Agora
- Em porcentagem, isso é cerca de
. - Pequeno comentário: faz sentido ser uma probabilidade moderadamente baixa porque a taxa de falha por semente é só
e o pacote tem apenas sementes.
Passo 7
Parte (c): quantos pacotes são esperados ser indenizados entre
pacotes.
- Se a probabilidade de indenizar um pacote é
, e os pacotes são independentes, o número esperado de pacotes indenizados em vendas é
- Isso vem da linearidade da esperança: soma das esperanças das variáveis indicadoras de indenização.
- Aplicando números:
- Interpretação prática: espera-se que cerca de
pacotes sejam indenizados, ou seja, aproximadamente pacotes (se for necessário um número inteiro).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)