Questão 3 - Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98 . Dessa forma, pede-se:
a) Qual a função de probabilidade para o número de sementes NÃO germinadas em cada pacote? Qual o número médio de sementes que não germinam em cada pacote?
b) Se os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. Qual é a probabilidade de que um pacote seja indenizado?
c) Se o produtor vender 1.000 pacotes, quantos pacotes ele espera indenizar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
  • Informações dadas:
    • Cada pacote tem 20 sementes.
    • A probabilidade de uma semente germinar é 0,98. Portanto a probabilidade de NÃO germinar é 0,02.
  • Perguntas:
    a) Qual a função de probabilidade para o número de sementes NÃO germinadas em cada pacote? Qual o número médio de sementes que não germinam em cada pacote?
    b) Qual é a probabilidade de que um pacote seja indenizado (isto é, tenha mais de uma semente sem germinar)?
    c) Se o produtor vender 1.000 pacotes, quantos pacotes ele espera indenizar?

Passo 2

Modelagem e definição da distribuição (explicação didática).
  • Quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui 20 sementes) e cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso/fracasso, o número de ocorrências de um evento (aqui: semente NÃO germinar) segue a distribuição binomial. A binomial é o modelo natural para “contar quantas sementes falham” porque:
    • temos n ensaios fixos e independentes ( n=20);
    • cada ensaio tem duas possibilidades (germinar ou não germinar);
    • a probabilidade de “sucesso” (aqui, sucesso = não germinar) é constante em cada semente ( p=0,02).
  • A função de probabilidade da binomial é dada por (vou colocar em formato de fórmula isolada):
\Pr(X=k)=\binom{20}{k}\,(0,02)^{k}\,(0,98)^{20-k},\qquad k=0,1,\dots,20.
  • Aqui \Pr(X=k) é a probabilidade de exatamente k sementes NÃO germinarem.
  • \binom{20}{k} é o número de maneiras de escolher quais k sementes falham entre as 20.
  • (0,02)^{k} é a probabilidade de essas k selecionadas falharem.
  • (0,98)^{20-k} é a probabilidade das restantes germinarem.

Passo 3

Cálculo do número médio (esperança) — teoria + aplicação.
  • Para uma variável aleatória X com distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p), a esperança (número médio) é
\mathbb{E}[X]=n\,p.
  • Aqui n é o número de ensaios e p é a probabilidade de “sucesso” na definição da binomial (no nosso caso “sucesso” = não germinar).
  • Aplicando com n=20 e p=0,02:
\mathbb{E}[X]=20\cdot 0,02 = 0,4.
  • Interpretação prática: em média há 0{,}4 sementes que não germinam por pacote (menos de meia semente por pacote, em média).

Passo 4

Probabilidade de indenização: estratégia e fórmula (explicação didática).
  • Um pacote é indenizado se tiver mais de uma semente sem germinar, isto é se X>1.
  • É mais fácil calcular \Pr(X>1) por complementar:
\Pr(X>1)=1-\Pr(X=0)-\Pr(X=1).
  • Vamos calcular \Pr(X=0) e \Pr(X=1) usando a fórmula da binomial.

Passo 5

Cálculo de \Pr(X=0) e \Pr(X=1) passo a passo.
  • Primeiro,
\Pr(X=0)=(0,98)^{20}.
  • Podemos calcular isso por multiplicações sucessivas; o valor numérico é
(0,98)^{20}\approx 0,6676089345.
  • Em seguida,
\Pr(X=1)=\binom{20}{1}(0,02)(0,98)^{19}.
  • Note que \binom{20}{1}=20, então
\Pr(X=1)=20\cdot 0,02\cdot (0,98)^{19}=0,4\cdot(0,98)^{19}.
  • Usando (0,98)^{19}\approx 0,6812336066 (isto vem de (0,98)^{20}/0,98), obtemos
\Pr(X=1)\approx 0,2724934427.

Passo 6

Cálculo da probabilidade de indenizar (juntando os resultados).
  • Agora
\Pr(X>1)=1-\Pr(X=0)-\Pr(X=1)
\Pr(X>1)\approx 1-0,6676089345-0,2724934427\approx 0,0598976229.
  • Em porcentagem, isso é cerca de 5{,}99\%.
  • Pequeno comentário: faz sentido ser uma probabilidade moderadamente baixa porque a taxa de falha por semente é só 2\% e o pacote tem apenas 20 sementes.

Passo 7

Parte (c): quantos pacotes são esperados ser indenizados entre 1.000 pacotes.
  • Se a probabilidade de indenizar um pacote é p_{\text{ind}}=\Pr(X>1), e os pacotes são independentes, o número esperado de pacotes indenizados em N=1.000 vendas é
\mathbb{E}[\text{nº indenizados}]=N\cdot p_{\text{ind}}.º
  • Isso vem da linearidade da esperança: soma das esperanças das variáveis indicadoras de indenização.
  • Aplicando números:
\mathbb{E}[\text{nº indenizados}]=1000\cdot 0,0598976229\approx 59,8976229.º
  • Interpretação prática: espera-se que cerca de 59{,}9 pacotes sejam indenizados, ou seja, aproximadamente 60 pacotes (se for necessário um número inteiro).

Resposta

(a) \Pr(X=k)=\binom{20}{k}(0,02)^{k}(0,98)^{20-k},\\ k=0,\dots,20;\\ \mathbb{E}[X]=0,4
(b) \Pr(\text{indenizado})=\Pr(X>1)=1-\Pr(X=0)-\Pr(X=1)\approx 0,0598976229
(c) \mathbb{E}[\text{indenizados em }1000]=1000\cdot 0,0598976229\approx 59,8976229

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