Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Fatore completamente:
x^{2}-9

Passo 1

O enunciado pede: “Fatore completamente” a expressão
x^{2}-9.
Informações dadas: a expressão é um polinômio em x de grau 2, com termo quadrático x^{2} e termo constante -9. Não há outros termos em x.

Passo 2

O que significa “fatorar completamente”? Significa escrever o polinômio como um produto de fatores de grau menor (preferivelmente fatores lineares, quando possível), sem deixar fatores que possam ser ainda decompostos. No caso de polinômios com coeficientes reais, “completar a fatoração” normalmente quer dizer expressá‑los como produto de fatores lineares reais (quando existirem) ou irreducíveis quadráticos.

Passo 3

Observação importante (fórmula útil): existe um produto notável chamado “diferença de quadrados”. A fórmula é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicando a fórmula passo a passo: se multiplicarmos (a-b)(a+b) obtemos
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
pois os termos +ab e -ab se anulam. Aqui a e b podem ser quaisquer expressões algébricas.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: reconhecemos \,x^{2}-9 como uma diferença de quadrados com
a = x \quad\text{e}\quad b = 3,
porque \,x^{2}=(x)^{2} e \,9=(3)^{2}. Usando a fórmula da diferença de quadrados,
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 5

Verificação (para eu ficar tranquilo na prova): multiplicando os fatores obtemos
(x-3)(x+3)=x^{2}+3x-3x-9=x^{2}-9,
o que confirma que a fatoração está correta e que não há mais fatores lineares a extrair — portanto a fatoração está completa.

Resposta

(x-3)(x+3)

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