Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Expanda e simplifique:
(x+2)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para expandir e simplificar a expressão
(x+2)^{3}
Informações dadas: temos um binómio (x+2) elevado ao expoente 3. A tarefa é escrever esse produto de forma desenvolvida (sem parênteses) e juntar os termos semelhantes até obter um polinômio simplificado.

Passo 2

O que significa “expandir e simplificar”?
Expandir = multiplicar tudo para retirar os parênteses, ou seja, escrever (x+2)^{3} como um produto de termos somados e então efetuar as multiplicações.
Simplificar = juntar termos semellhantes (por exemplo, somar os termos em x^{2}, os termos em x, etc.) até ficar com um polinômio ordenado.

Passo 3

Uma fórmula útil para potências de binómios é a expansão do cubo:
(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}
Explicando a fórmula: aqui a e b são quaisquer expressões (números ou variáveis). Os coeficientes 1,3,3,1 vêm do próprio desenvolvimento algébrico (ou do Triângulo de Pascal). Vou mostrar rapidamente como essa fórmula é obtida para você entender bem. Primeiro calculemos (a+b)^{2}:
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.
Agora multiplique (a+b)^{2} por (a+b):
(a^{2} + 2ab + b^{2})(a+b).
Agora multiplicamos termo a termo:
a^{2}\cdot a + a^{2}\cdot b + 2ab\cdot a + 2ab\cdot b + b^{2}\cdot a + b^{2}\cdot b.
Isso dá
a^{3} + a^{2}b + 2a^{2}b + 2ab^{2} + ab^{2} + b^{3},
e agrupando os termos semelhantes obtemos
a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3},
que é exatamente a fórmula acima.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: faça a=x e b=2. Substituindo em
(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3},
temos:
(x+2)^{3} = x^{3} + 3x^{2}\cdot 2 + 3x\cdot 2^{2} + 2^{3}.
Agora calcule cada termo:
3x^{2}\cdot 2 = 6x^{2},
3x\cdot 2^{2} = 3x\cdot 4 = 12x,
2^{3} = 8.

Passo 5

Juntando os termos obtidos, o polinômio simplificado é
x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8.

Passo 6

Como verificação extra (opcional, mas bom para firmar a ideia), podemos obter o mesmo resultado multiplicando passo a passo:
Primeiro
(x+2)(x+2) = x^{2} + 4x + 4,
depois
(x^{2} + 4x + 4)(x+2) = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8,
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8

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