Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Fatore o polinômio:
x^{3}+27

Passo 1

O enunciado pede: fatorar o polinômio \,x^{3}+27\,.
Informações dadas: o polinômio é \,x^{3}+27\,. Observação útil (dada pelo próprio número): \,27=3^{3}\,. Não faremos nenhuma resolução ainda, só identifiquei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a soma de cubos fatoriza segundo a identidade
a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).
Aqui \,a e \,b são quaisquer números ou expressões. Explicando cada parte: \,a^{3} e \,b^{3} são os cubos de \,a e \,b; o fator \,(a+b) é a soma das bases; o segundo fator \,a^{2}-ab+b^{2} combina o quadrado de \,a, o produto \,ab (com sinal negativo) e o quadrado de \,b. Essa identidade é padrão em “produtos notáveis” — memorizando ela você resolve muitas fatorações rapidamente.

Passo 3

Identificamos \,a e \,b no nosso polinômio: como \,x^{3}+27 = x^{3}+3^{3}, tomamos \,a=x e \,b=3. Aplicando a fórmula da soma de cubos, substituímos \,a por \,x e \,b por \,3:
x^{3}+3^{3}=(x+3)\bigl(x^{2}-x\cdot 3+3^{2}\bigr).

Passo 4

Calculemos explicitamente os termos do segundo fator: \,x^{2}-x\cdot 3+3^{2}=x^{2}-3x+9. Logo a fatoração fica
x^{3}+27=(x+3)(x^{2}-3x+9).

Passo 5

Vamos verificar multiplicando de volta (isso ajuda a fixar o procedimento e a checar erros na prova). Multiplicando:
(x+3)(x^{2}-3x+9)=x(x^{2}-3x+9)+3(x^{2}-3x+9).
Calculando cada parte:
x(x^{2}-3x+9)=x^{3}-3x^{2}+9x,
3(x^{2}-3x+9)=3x^{2}-9x+27.
Somando:
x^{3}-3x^{2}+9x+3x^{2}-9x+27 = x^{3}+27,
pois -3x^{2}+3x^{2}=0 e 9x-9x=0. A verificação fecha certinho.

Passo 6

Observação sobre fatoração adicional: o termo quadrático \,x^{2}-3x+9\, tem discriminante
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot9 = 9-36 = -27<0,
portanto não tem raízes reais e não se fatoriza mais sobre os reais. Em provas normalmente basta a fatoração em fatores reais que encontramos. Se quisesse fatorar sobre os complexos, poderia obter as raízes usando a fórmula quadrática.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia: fatorar \,8+1\,. Como \,8=2^{3} e \,1=1^{3}, aplicando a mesma fórmula temos
2^{3}+1^{3}=(2+1)(2^{2}-2\cdot1+1^{2})=3(4-2+1)=3\cdot3=9,
o que confirma o padrão na prática. Dica de prova: sempre verifique se os termos são cubos perfeitos antes de aplicar a identidade.

Resposta

(x+3)(x^{2}-3x+9)

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