Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Fatore o polinômio:
Fatore o polinômio:
Passo 1
O enunciado pede: fatorar o polinômio
.
Informações dadas: o polinômio é . Observação útil (dada pelo próprio número):
. Não faremos nenhuma resolução ainda, só identifiquei o que é pedido e os dados fornecidos.
Informações dadas: o polinômio é
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a soma de cubos fatoriza segundo a identidade
Aqui
e
são quaisquer números ou expressões. Explicando cada parte:
e
são os cubos de
e
; o fator
é a soma das bases; o segundo fator
combina o quadrado de
, o produto
(com sinal negativo) e o quadrado de
. Essa identidade é padrão em “produtos notáveis” — memorizando ela você resolve muitas fatorações rapidamente.
Passo 3
Identificamos
e
no nosso polinômio: como
, tomamos
e
. Aplicando a fórmula da soma de cubos, substituímos
por
e
por
:
Passo 4
Calculemos explicitamente os termos do segundo fator:
. Logo a fatoração fica
Passo 5
Vamos verificar multiplicando de volta (isso ajuda a fixar o procedimento e a checar erros na prova). Multiplicando:
Calculando cada parte:
Somando:
pois
e
. A verificação fecha certinho.
Passo 6
Observação sobre fatoração adicional: o termo quadrático
tem discriminante
portanto não tem raízes reais e não se fatoriza mais sobre os reais. Em provas normalmente basta a fatoração em fatores reais que encontramos. Se quisesse fatorar sobre os complexos, poderia obter as raízes usando a fórmula quadrática.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a ideia: fatorar
. Como
e
, aplicando a mesma fórmula temos
o que confirma o padrão na prática. Dica de prova: sempre verifique se os termos são cubos perfeitos antes de aplicar a identidade.