Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Expanda e simplifique:
(3 x-1)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para expandir e simplificar a expressão
(3x-1)^{3}.
Informações dadas:
\text{a expressão é um cubo de um binômio: }(3x-1)^{3}.ãéô
Objetivo: obter um polinômio equivalente, com termos somados e semelhantes combinados.

Passo 2

Vamos usar a identidade do cubo de um binômio. Primeiro explico e derivo a fórmula para você entender passo a passo.
Seja \,a e \,b quaisquer expressões. Temos
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Agora multiplicamos por (a-b) para obter o cubo:
(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2 - 2ab + b^2).
Faço a distribuição termo a termo. Multiplicando cada termo de (a^2 - 2ab + b^2) por a e por -b e somando:
(a-b)^3 = a\cdot a^2 - a\cdot 2ab + a\cdot b^2 - b\cdot a^2 + b\cdot 2ab - b\cdot b^2.
Agora simplifico cada produto e agrupo termos semelhantes:
(a-b)^3 = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3.
Somando os coeficientes dos termos semelhantes:
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.
Observação: os coeficientes 1, -3, 3, -1 vêm dos coeficientes do binômio (os chamados coeficientes binomiais para n=3).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso. Identificamos
a = 3x,\qquad b = 1.
Substituo na fórmula (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.
Calculo cada termo separadamente:
Termo a^3:
a^3 = (3x)^3 = 3^3 x^3 = 27x^3.
Termo -3a^2b:
-3a^2b = -3\,(3x)^2 \cdot 1 = -3\cdot 9x^2 \cdot 1 = -27x^2.
Termo 3ab^2:
3ab^2 = 3\,(3x)\cdot 1^2 = 3\cdot 3x \cdot 1 = 9x.
Termo -b^3:
-b^3 = -1^3 = -1.

Passo 4

Agora somo todos os termos obtidos:
27x^3 - 27x^2 + 9x - 1.
Esse é o polinômio expandido e já simplificado (não há termos semelhantes para combinar além desses).

Passo 5

Para ficar mais seguro, faço uma verificação rápida multiplicando passo a passo:
Primeiro calcule (3x-1)^2:
(3x-1)^2 = (3x)^2 - 2\cdot(3x)\cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1.
Multiplico (9x^2 - 6x + 1) por (3x-1):
(9x^2 - 6x + 1)(3x-1).
Distribuo cada termo:
9x^2\cdot(3x-1) = 27x^3 - 9x^2,
-6x\cdot(3x-1) = -18x^2 + 6x,
1\cdot(3x-1) = 3x - 1.
Somando tudo:
27x^3 + (-9x^2 - 18x^2) + (6x + 3x) - 1 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

27x^{3}-27x^{2}+9x-1

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