Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Fatore usando soma/diferença de cubos:
8 y^{3}-27

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão usando soma/diferença de cubos. A expressão dada é
8y^{3}-27.
Informações relevantes:
  • A expressão a ser fatorada é \,8y^{3}-27\,.
  • O enunciado indica explicitamente o método a usar: fatoração por soma/diferença de cubos.
  • Não há outras condições ou incógnitas: só precisamos escrever a expressão como produto de fatores polinomiais.

Passo 2

Vou recordar a fórmula de diferença de cubos e explicar o que cada símbolo significa. A identidade algébrica é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Aqui:
  • \,a e \,b são quaisquer expressões algébricas (podem ser números, monômios, etc.);
  • \,a^{3} significa “a” elevado ao cubo (multiplicado por si mesmo três vezes);
  • o lado direito mostra a fatoração em um fator linear \,(a-b) e um fator quadrático \,(a^{2}+ab+b^{2}).
Para ter certeza de que a fórmula é correta, vamos expandir o lado direito e verificar que volta ao lado esquerdo:
(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr)=a\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr)-b\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Agora desenvolvendo cada produto:
= \bigl(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}\bigr) - \bigl(ba^{2}+ab^{2}+b^{3}\bigr).
Como ba^{2}=a^{2}b e os termos ab^{2} aparecem com sinais opostos, eles se cancelam, sobrando
a^{3}-b^{3},
o que confirma a identidade.

Passo 3

Identificar a e b na expressão dada. Observamos que
8y^{3}=(2y)^{3}\quad\text{e}\quad 27=3^{3}.
Portanto podemos escrever
8y^{3}-27=(2y)^{3}-3^{3},
ou seja, tomar a=2y e b=3.

Passo 4

Aplicar a fórmula com a=2y e b=3. Substituindo em
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr),
obtemos
(2y)^{3}-3^{3}=(2y-3)\bigl((2y)^{2}+(2y)\cdot 3+3^{2}\bigr).

Passo 5

Calcular os termos do fator quadrático passo a passo:
(2y)^{2}=4y^{2},\qquad (2y)\cdot 3=6y,\qquad 3^{2}=9.
Logo o fator quadrático fica 4y^{2}+6y+9. Assim a fatoração completa é
8y^{3}-27=(2y-3)\bigl(4y^{2}+6y+9\bigr).

Passo 6

Faço uma checagem rápida expandindo o produto para confirmar que volta à expressão original. Expandindo:
(2y-3)(4y^{2}+6y+9)=2y\cdot 4y^{2}+2y\cdot 6y+2y\cdot 9-3\cdot 4y^{2}-3\cdot 6y-3\cdot 9.
Calculando cada termo:
=8y^{3}+12y^{2}+18y-12y^{2}-18y-27.
Os termos 12y^{2} e -12y^{2} se cancelam, assim como 18y e -18y, restando
8y^{3}-27,
o que confirma que a fatoração está correta. Força aí — você conseguiu!

Resposta

(2y-3)\bigl(4y^{2}+6y+9\bigr)

Exercícios relacionados