Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Utilize produtos notáveis para simplificar:
(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão abaixo, utilizando produtos notáveis:
(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)
Informações dadas: a expressão a ser simplificada é exatamente a expressão acima. Não há outros dados.

Passo 2

Vamos lembrar um produto notável muito útil: a fatoração da soma de cubos. Para quaisquer números ou expressões a e b vale a identidade
(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}.
Explicando a identidade: a e b são símbolos que representam qualquer número ou expressão; o lado esquerdo é o produto de um binômio por um trinômio com termos específicos, e o lado direito é a soma dos cubos de a e b.

Passo 3

Prova rápida da identidade (para você decorar e saber usar na prova): expandimos o lado esquerdo usando a distributiva:
(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)+b\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).
Agora expandindo cada termo:
a\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}
b\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=ba^{2}-ab^{2}+b^{3}.
Somando essas duas linhas e organizando:
a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+ba^{2}-ab^{2}+b^{3}.
Como ba^{2}=a^{2}b e os termos -a^{2}b e +a^{2}b se cancelam, e também +ab^{2} e -ab^{2} se cancelam, fica apenas
a^{3}+b^{3},
o que confirma a identidade.

Passo 4

Agora aplicamos essa identidade ao nosso caso identificando a=x e b=1. Substituindo em
(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}
obtemos
(x+1)\left(x^{2}-x\cdot 1+1^{2}\right)=x^{3}+1^{3}.
Como x\cdot 1=x e 1^{2}=1 e 1^{3}=1, isso simplifica para
(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)=x^{3}+1.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil para a prova se você esquecer a identidade): expandir diretamente pela distributiva:
x\left(x^{2}-x+1\right)+1\left(x^{2}-x+1\right)=x^{3}-x^{2}+x+x^{2}-x+1.
Agora observe as cancelas: -x^{2}+x^{2}=0 e +x-x=0, sobrando
x^{3}+1,
mesmo resultado.

Resposta

x^{3}+1

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