Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Expanda e simplifique:
(x+y+z)^{2} .

Passo 1

O que o enunciado pede: expandir e simplificar a expressão (x+y+z)^{2}.
Informações dadas: a expressão é (x+y+z)^{2}. Não há valores numéricos para \,x,y,z, então o objetivo é obter uma expressão algébrica equivalente, com os termos somados e semelhantes combinados.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade muito útil (vou explicar de forma bem pé no chão): para quaisquer símbolos \,a e \,b vale
(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}.
Por que isso é verdade? Multiplicando (a+b)(a+b) pela distributiva obtemos a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b, que é a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a^{2} significa a\cdot a e 2ab é somar ab duas vezes.

Passo 3

Aplicamos essa identidade ao nosso caso agrupando dois termos e usando A=x+y. Então escrevemos
(x+y+z)^{2} = (A+z)^{2}\quad\text{com}\quad A=x+y.
A ideia é primeiro tratar x+y como um único bloco A e usar a identidade do quadrado de uma soma.

Passo 4

Usando a identidade com a=A e b=z temos
(A+z)^{2}=A^{2}+2Az+z^{2}.
Agora substituímos A=x+y de volta:
(x+y+z)^{2}=(x+y)^{2}+2(x+y)z+z^{2}.

Passo 5

Expandimos (x+y)^{2} usando novamente a identidade (agora com a=x e b=y):
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.

Passo 6

Expandimos o termo 2(x+y)z usando a distributiva (ou seja, multiplicamos z por cada termo dentro do parêntese):
2(x+y)z=2xz+2yz.
Aqui usei que 2(x+y)z = 2z(x+y) = 2zx + 2zy, e como multiplicação comuta escrevemos 2xz+2yz.

Passo 7

Agora juntamos tudo: substituindo as expansões de (x+y)^{2} e de 2(x+y)z em (x+y)^{2}+2(x+y)z+z^{2} obtemos
x^{2}+2xy+y^{2}+2xz+2yz+z^{2}.
Agrupando termos semelhantes por ordem habitual (quadrados primeiro, depois os produtos com fator 2) fica mais bonito:
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz.

Resposta

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz

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