Questão 6 (Propriedades da Ordem). Prove as seguintes afirmações para inteiros x, y, z :
c) Preservação da ordem na adição: Se x \geq y, então x+z \geq y+z.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dados três inteiros \,x,y,z\in\mathbb{Z}\,.
  • Hipótese: \,x\ge y\,.
  • Pedido: provar que \,x+z \ge y+z\,.
Informações úteis que vamos usar (definições / fatos básicos que são permitidos):
  • A definição de ordem nos inteiros que usaremos: dizer que \,a\ge b\, significa que existe um inteiro não-negativo \,n\in\mathbb{N}_0 tal que \,a = b + n. Aqui \mathbb{N}_0 denota os inteiros \,0,1,2,\dots.
  • Propriedades básicas da adição em \mathbb{Z}: comutatividade e associatividade (para manipular somas sem mudar o sentido das igualdades).

Passo 2

Explicar cuidadosamente a definição de \ge que vamos usar:
  • A afirmação “ \,x\ge y\,” quer dizer exatamente que existe algum \,n\in\mathbb{N}_0 tal que
x = y + n.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \,x,y\in\mathbb{Z}\, são os inteiros dados.
    • \,n\in\mathbb{N}_0\, é um inteiro não-negativo (pode ser zero).
    • A igualdade \,x = y + n\, expressa que x difere de y por um número não-negativo.

Passo 3

Usar a hipótese \,x\ge y\, e escrever a existência do \,n:
  • Pela definição, da hipótese \,x\ge y\, segue que existe \,n\in\mathbb{N}_0 tal que
x = y + n.

Passo 4

Adicionar z em ambos os lados da igualdade obtida:
  • Somando \,z\, aos dois lados da igualdade \,x = y + n\, obtemos, usando associatividade/ comutatividade,
x + z = (y + n) + z = y + z + n.
  • Aqui foi usado que a adição em \mathbb{Z} é associativa, então não há ambiguidade em reescrever (y+n)+z como y+z+n.

Passo 5

Interpretar a igualdade obtida para concluir a desigualdade desejada:
  • Observe que na igualdade
x+z = y+z + n
o termo n continua sendo um inteiro não-negativo ( n\in\mathbb{N}_0).
  • Pela mesma definição de ordem (aplicada agora aos inteiros x+z e y+z), a existência de um n\ge 0 com x+z = (y+z) + n é exatamente a condição para afirmar que
x+z \ge y+z.

Passo 6

Comentário didático e exemplo numérico:
  • Intuição simples: se x é pelo menos y (ou seja, x é y mais algum número não-negativo), então ao somar a mesma coisa z dos dois lados não se altera essa diferença não-negativa entre eles — a desigualdade é preservada.
  • Exemplo concreto para fixar: tome \,x=7, \,y=3, \,z=-2. Então \,x\ge y porque 7 = 3 + 4 com 4\ge0. Somando -2 aos dois lados temos 7+(-2)=5 e 3+(-2)=1, e de fato 5\ge1. Funciona mesmo quando z é negativo.

Resposta

Se \,x\ge y\, então \,x+z \ge y+z\,.

Exercícios relacionados