Questão 6 (Propriedades da Ordem). Prove as seguintes afirmações para inteiros
:
c) Preservação da ordem na adição: Se
, então
.
c) Preservação da ordem na adição: Se
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dados três inteiros
. - Hipótese:
. - Pedido: provar que
.
Informações úteis que vamos usar (definições / fatos básicos que são permitidos):
- A definição de ordem nos inteiros que usaremos: dizer que
significa que existe um inteiro não-negativo tal que . Aqui denota os inteiros . - Propriedades básicas da adição em
: comutatividade e associatividade (para manipular somas sem mudar o sentido das igualdades).
Passo 2
Explicar cuidadosamente a definição de
que vamos usar:
- A afirmação “
” quer dizer exatamente que existe algum tal que
- Aqui cada símbolo significa:
-
são os inteiros dados. -
é um inteiro não-negativo (pode ser zero). - A igualdade
expressa que difere de por um número não-negativo.
-
Passo 3
Usar a hipótese
e escrever a existência do
:
- Pela definição, da hipótese
segue que existe tal que
Passo 4
Adicionar
em ambos os lados da igualdade obtida:
- Somando
aos dois lados da igualdade obtemos, usando associatividade/ comutatividade,
- Aqui foi usado que a adição em
é associativa, então não há ambiguidade em reescrever como .
Passo 5
Interpretar a igualdade obtida para concluir a desigualdade desejada:
- Observe que na igualdade
o termo
continua sendo um inteiro não-negativo (
).
- Pela mesma definição de ordem (aplicada agora aos inteiros
e ), a existência de um com é exatamente a condição para afirmar que
Passo 6
Comentário didático e exemplo numérico:
- Intuição simples: se
é pelo menos (ou seja, é mais algum número não-negativo), então ao somar a mesma coisa dos dois lados não se altera essa diferença não-negativa entre eles — a desigualdade é preservada. - Exemplo concreto para fixar: tome
, , . Então porque com . Somando aos dois lados temos e , e de fato . Funciona mesmo quando é negativo.
Resposta
Se
então
.