Questão 4 (Leis do Cancelamento). Utilizando os resultados da questão anterior, demonstre que, para quaisquer inteiros x, y, z :
a) Cancelamento da Adição: Se x+z=y+z, então x=y.
b) Cancelamento da Multiplicação ( \mathbf{2}^{\mathbf{a}} forma do anulamento): Se x \cdot z=y \cdot z \mathrm{e} z \neq 0_{\mathbb{Z}}, então x=y.

Passo 1

O enunciado pede que se provem duas propriedades para quaisquer inteiros x,y,z:
  • (a) Cancelamento da adição: a partir da hipótese \,x+z=y+z\, mostrar que \,x=y.
  • (b) Cancelamento da multiplicação: a partir da hipótese \,x\cdot z=y\cdot z\, e da condição \,z\neq 0_{\mathbb{Z}}\, mostrar que \,x=y.
Informações/ resultados que serão usados (pressupostos e resultados da questão anterior):
  • Para todo inteiro a existe o inverso aditivo -a tal que a+(-a)=0_{\mathbb{Z}}.
  • A operação de adição em \mathbb{Z} é associativa e comutativa; existe elemento neutro 0_{\mathbb{Z}}.
  • Existem as operações de subtração e de multiplicação com as propriedades usuais, e vale a propriedade distributiva (u+v)\cdot w = u\cdot w + v\cdot w.
  • Resultado útil (retirado da questão anterior): se u\cdot v = 0_{\mathbb{Z}} e v\neq 0_{\mathbb{Z}}, então u=0_{\mathbb{Z}}. (Ou seja, \mathbb{Z} não tem divisores de zero.)

Passo 2

Explicando a ideia para o cancelamento da adição (parte (a)) de forma muito simples antes de fazer as contas: para “desapegar” do +z de ambos os lados, vamos somar o inverso aditivo de z, que é -z. Isso é permitido porque a adição é bem definida em \mathbb{Z} e -z existe por hipótese. Depois usamos associatividade e o fato de z+(-z)=0_{\mathbb{Z}} para chegar em x=y. Agora fazemos isso passo a passo.

Passo 3

Prova formal do item (a).
Partimos de \,x+z=y+z\,.
Somamos -z a ambos os lados (isto é, adicionamos o inverso aditivo de z; soma de inteiros é fechada, logo o resultado é válido em \mathbb{Z}):
(x+z)+(-z)=(y+z)+(-z).
Pela associatividade da adição, podemos reabrir parênteses colocando z junto de -z:
x+(z+(-z))=y+(z+(-z)).
Como z+(-z)=0_{\mathbb{Z}} (definição de inverso aditivo), segue
x+0_{\mathbb{Z}}=y+0_{\mathbb{Z}}.
Usando que 0_{\mathbb{Z}} é o elemento neutro da adição (ou seja, w+0_{\mathbb{Z}}=w para todo inteiro w), obtemos
x=y.
Assim o cancelamento da adição está demonstrado.

Passo 4

Comentário didático curto sobre o que foi usado em (a): a operação de adição tem inversos aditivos e elemento neutro; somar o mesmo termo -z em ambos os lados é uma operação permitida que preserva a igualdade. Esse é o raciocínio canônico em provas de cancelamento de soma.

Passo 5

Preparação para o cancelamento da multiplicação (parte (b)). Aqui não podemos, em geral, dividir por z dentro de \mathbb{Z} porque nem sempre z tem inverso multiplicativo em \mathbb{Z}. Em \mathbb{Q} ou \mathbb{R} dividir seria direto; em \mathbb{Z} usamos outra estratégia: passar todos os termos para um lado, fatorar e aplicar a propriedade “sem divisores de zero” (resultado da questão anterior). A ideia é transformar x\cdot z = y\cdot z em (x-y)\cdot z = 0_{\mathbb{Z}} e então concluir que x-y=0_{\mathbb{Z}} porque z\neq0_{\mathbb{Z}}.

Passo 6

Prova formal do item (b).
Partimos de \,x\cdot z = y\cdot z\,.
Subtraindo y\cdot z de ambos os lados (isto é, somando o inverso aditivo de y\cdot z), obtemos
x\cdot z - y\cdot z = 0_{\mathbb{Z}}.
Pela propriedade distributiva e pela definição da subtração como soma com inverso aditivo, podemos fatorar o lado esquerdo:
(x-y)\cdot z = 0_{\mathbb{Z}}.
Agora aplicamos o resultado usado da questão anterior: como z\neq 0_{\mathbb{Z}} e (x-y)\cdot z = 0_{\mathbb{Z}}, segue que
x-y = 0_{\mathbb{Z}}.
Finalmente, usando a definição de subtração, x-y=0_{\mathbb{Z}} implica
x=y.
Isso demonstra o cancelamento da multiplicação na forma pedida.

Passo 7

Comentário final e exemplo prático: em \mathbb{Z} a razão pela qual a multiplicação cancela quando z\neq0 não é porque exista inverso multiplicativo de z (isso só aconteceria se z=\pm1), mas porque \mathbb{Z} não tem divisores de zero. Exemplo numérico: se 4\cdot z = 7\cdot z e z\neq 0, então (4-7)\cdot z = -3\cdot z = 0 e, como z\neq0, segue -3=0 é impossível — então o caso só ocorre quando 4=7 (o que não é), mais formalmente leva a concluir igualdade dos fatores como provado.

Resposta

a) x=y
b) x=y

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