Questão 4 (Leis do Cancelamento). Utilizando os resultados da questão anterior, demonstre que, para quaisquer inteiros
:
a) Cancelamento da Adição: Se
, então
.
b) Cancelamento da Multiplicação (
forma do anulamento): Se
, então
.
a) Cancelamento da Adição: Se
b) Cancelamento da Multiplicação (
Passo 1
O enunciado pede que se provem duas propriedades para quaisquer inteiros
:
- (a) Cancelamento da adição: a partir da hipótese
mostrar que . - (b) Cancelamento da multiplicação: a partir da hipótese
e da condição mostrar que .
Informações/ resultados que serão usados (pressupostos e resultados da questão anterior):
- Para todo inteiro
existe o inverso aditivo tal que . - A operação de adição em
é associativa e comutativa; existe elemento neutro . - Existem as operações de subtração e de multiplicação com as propriedades usuais, e vale a propriedade distributiva
. - Resultado útil (retirado da questão anterior): se
e , então . (Ou seja, não tem divisores de zero.)
Passo 2
Explicando a ideia para o cancelamento da adição (parte (a)) de forma muito simples antes de fazer as contas: para “desapegar” do
de ambos os lados, vamos somar o inverso aditivo de
, que é
. Isso é permitido porque a adição é bem definida em
e
existe por hipótese. Depois usamos associatividade e o fato de
para chegar em
. Agora fazemos isso passo a passo.
Passo 3
Prova formal do item (a).
Partimos de
.
Somamos
a ambos os lados (isto é, adicionamos o inverso aditivo de
; soma de inteiros é fechada, logo o resultado é válido em
):
Pela associatividade da adição, podemos reabrir parênteses colocando
junto de
:
Como
(definição de inverso aditivo), segue
Usando que
é o elemento neutro da adição (ou seja,
para todo inteiro
), obtemos
Assim o cancelamento da adição está demonstrado.
Passo 4
Comentário didático curto sobre o que foi usado em (a): a operação de adição tem inversos aditivos e elemento neutro; somar o mesmo termo
em ambos os lados é uma operação permitida que preserva a igualdade. Esse é o raciocínio canônico em provas de cancelamento de soma.
Passo 5
Preparação para o cancelamento da multiplicação (parte (b)). Aqui não podemos, em geral, dividir por
dentro de
porque nem sempre
tem inverso multiplicativo em
. Em
ou
dividir seria direto; em
usamos outra estratégia: passar todos os termos para um lado, fatorar e aplicar a propriedade “sem divisores de zero” (resultado da questão anterior). A ideia é transformar
em
e então concluir que
porque
.
Passo 6
Prova formal do item (b).
Partimos de
.
Subtraindo
de ambos os lados (isto é, somando o inverso aditivo de
), obtemos
Pela propriedade distributiva e pela definição da subtração como soma com inverso aditivo, podemos fatorar o lado esquerdo:
Agora aplicamos o resultado usado da questão anterior: como
e
, segue que
Finalmente, usando a definição de subtração,
implica
Isso demonstra o cancelamento da multiplicação na forma pedida.
Passo 7
Comentário final e exemplo prático: em
a razão pela qual a multiplicação cancela quando
não é porque exista inverso multiplicativo de
(isso só aconteceria se
), mas porque
não tem divisores de zero. Exemplo numérico: se
e
, então
e, como
, segue
é impossível — então o caso só ocorre quando
(o que não é), mais formalmente leva a concluir igualdade dos fatores como provado.
Resposta
a)
b)
b)