Questão 6 (Propriedades da Ordem). Prove as seguintes afirmações para inteiros x, y, z :
d) Preservação da ordem na multiplicação: Se x \geq y e z \geq 0_{\mathbb{Z}}, então x \cdot z \geq y \cdot z.

Passo 1

O enunciado dá claramente as hipóteses e pede uma conclusão. Vou listar isso de forma muito explícita:
  • Hipóteses:
    • x,y,z\in\mathbb{Z}.
    • x\ge y.
    • z\ge 0_{\mathbb{Z}} (ou seja, z é um inteiro não negativo).
  • O que devemos provar:
    • Mostrar que x\cdot z \ge y\cdot z.

Passo 2

Vamos lembrar uma definição muito útil e simples da ordem nos inteiros que usaremos: dizer que um inteiro a é maior ou igual a um inteiro b significa que a diferença a-b é um inteiro não negativo. Equivalentemente,
a\ge b \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\\ \text{tal que}\\ a=b+n.
Aqui \mathbb{N}\cup\{0\} representa os naturais incluindo o zero. Essa é uma forma padrão de usar a ordem em \mathbb{Z}: a\ge b quando a pode ser obtido somando um natural (possivelmente zero) a b.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: como x\ge y, existe algum n\in\mathbb{N}\cup\{0\} tal que
x = y + n.
Também, pela hipótese, z é um inteiro não negativo, ou seja z\in\mathbb{N}\cup\{0\} (ou, mais frasalmente, z\ge0).

Passo 4

Multiplico a igualdade x = y + n pelo inteiro z. Pela propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma (uma propriedade básica dos inteiros), obtemos:
x\cdot z = (y + n)\cdot z = y\cdot z + n\cdot z.
Expliquei isso passo a passo: distribuir significa multiplicar cada termo da soma por z e somar os resultados.

Passo 5

Agora preciso justificar que n\cdot z é um inteiro não negativo, ou seja n\cdot z\ge 0. Faço isso por casos simples sobre n:
  • Se n=0, então n\cdot z = 0, logo n\cdot z \ge 0.
  • Se n>0, então n é soma de 1's (ex.: n=1+1+\cdots+1, n vezes). Logo
n\cdot z = \underbrace{z + z + \cdots + z}_{n\\ \text{vezes}}.
Como z\ge 0, cada parcela z na soma é \ge 0. A soma de números não negativos é não negativa, portanto n\cdot z \ge 0.
Portanto, em todos os casos n\cdot z \ge 0.

Passo 6

Voltando à igualdade do Passo 4,
x\cdot z = y\cdot z + n\cdot z,
e vimos no Passo 5 que n\cdot z \ge 0. Assim a diferença entre x\cdot z e y\cdot z é não negativa:
x\cdot z - y\cdot z = n\cdot z \ge 0.
Pelo mesmo critério de ordem usado anteriormente (diferença não negativa), isso implica exatamente que
x\cdot z \ge y\cdot z.

Passo 7

Resumo rápido e uma intuição amiga: se x\ge y então x é y mais algum número não negativo n. Multiplicar por z\ge0 apenas multiplica esse “excesso” n por z, e como produto de não-negativos é não-negativo, o excesso permanece não-negativo. Logo o produto com x continua maior ou igual ao produto com y.

Resposta

\;x\cdot z \ge y\cdot z

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