Questão 6. Prove que se a, b são inteiros ímpares, então 8 mid a^2-b^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados dois inteiros ímpares a e b, temos
8 mid a^2 - b^2
O conteúdo aqui é divisibilidade em Z e representação de números pares e ímpares. Vamos expressar a e b na forma 2m+1 e usar a fatoração da diferença de quadrados.

Passo 2

Como a e b são inteiros ímpares, existem k,ellinZ tais que
a = 2k + 1
b = 2ell + 1

Passo 3

Calculamos a diferença de quadrados usando fatoração e as expressões acima:
a - b = 2(k - ell)
a + b = 2(k + ell + 1)
Logo
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 2(k - ell),cdot,2(k + ell + 1) = 4,(k - ell)(k + ell + 1)

Passo 4

Agora analisamos a paridade do produto (k - ell)(k + ell + 1). Note que k - ell e k + ell + 1 são inteiros consecutivos em termos de paridade, logo um deles é par. Portanto existe minZ tal que
(k - ell)(k + ell + 1) = 2m
Substituindo em
a^2 - b^2 = 4,(k - ell)(k + ell + 1)
segue que
a^2 - b^2 = 4cdot 2m = 8m,
ou seja, a^2 - b^2 é múltiplo de 8.

Resposta

Logo, 8 mid a^2 - b^2.

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