Questão 6. Prove que se
são inteiros ímpares, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados dois inteiros ímpares
e
, temos
O conteúdo aqui é divisibilidade em
e representação de números pares e ímpares. Vamos expressar
e
na forma
e usar a fatoração da diferença de quadrados.
Passo 2
Como
e
são inteiros ímpares, existem
tais que
Passo 3
Calculamos a diferença de quadrados usando fatoração e as expressões acima:
Logo
Passo 4
Agora analisamos a paridade do produto
. Note que
e
são inteiros consecutivos em termos de paridade, logo um deles é par. Portanto existe
tal que
Substituindo em
segue que
ou seja,
é múltiplo de
.
Resposta
Logo,
.