Questão 3. Prove diretamente e também usando a primeira forma do Princípio da Indução que 6 mid n(n+1)(2 n+1), para todo inteiro n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro n>=1,
6 mid n(n+1)(2n+1),
ou seja, n(n+1)(2n+1) é divisível por 6. Para isso vamos usar dois métodos:
  1. prova direta, mostrando separadamente que o produto é par e que é múltiplo de 3;
  2. prova por indução (primeira forma), usando o princípio da boa ordenação.

Passo 2

Prova direta – divisibilidade por 2:
entre dois inteiros consecutivos n e n+1, exatamente um é par. Logo
n(n+1)(2n+1)
contém um fator par e, portanto, é divisível por 2.

Passo 3

Prova direta – divisibilidade por 3:
analise n módulo 3.
  • Se nequiv0pmod3, então n é múltiplo de 3.
  • Se nequiv1pmod3, então 2n+1equiv2cdot1+1equiv0pmod3.
  • Se nequiv2pmod3, então n+1equiv0pmod3.
    Em todo caso, um dos fatores n, n+1 ou 2n+1 é múltiplo de 3, logo o produto é divisível por 3.

Passo 4

Conclusão da prova direta:
já que n(n+1)(2n+1) é múltiplo de 2 e de 3, ele é múltiplo de mcm(2,3)=6. Portanto
6mid n(n+1)(2n+1)
para todo n>=1.

Passo 5

Prova por indução:
Base ( n=1):
1cdot2cdot3=6,
que é múltiplo de 6. Logo P(1) vale.
Passo indutivo: suponha que P(k) vale, isto é,
6mid k(k+1)(2k+1)
Precisamos mostrar P(k+1):
(k+1)(k+2)(2k+3)
Observe que
(k+1)(k+2)(2k+3) - k(k+1)(2k+1) = (k+1)l[(k+2)(2k+3)-k(2k+1)r] = (k+1)(6k+6) =6(k+1)^2
Pela hipótese indutiva k(k+1)(2k+1) é múltiplo de 6 e 6(k+1)^2 também é múltiplo de 6, então a soma
(k+1)(k+2)(2k+3)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2
é múltipla de 6. Assim P(k+1) vale e a indução se completa.

Resposta

Concluímos que, para todo inteiro n>=1, vale
6 mid n(n+1)(2n+1),
tanto pela prova direta (divisibilidade por 2 e por 3) quanto pela prova por indução.

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