Questão 3. Prove diretamente e também usando a primeira forma do Princípio da Indução que
, para todo inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro
,
ou seja,
é divisível por
. Para isso vamos usar dois métodos:
- prova direta, mostrando separadamente que o produto é par e que é múltiplo de
; - prova por indução (primeira forma), usando o princípio da boa ordenação.
Passo 2
Prova direta – divisibilidade por
:
entre dois inteiros consecutivos e
, exatamente um é par. Logo
entre dois inteiros consecutivos
contém um fator par e, portanto, é divisível por
.
Passo 3
Prova direta – divisibilidade por
:
analise módulo
.
analise
- Se
, então é múltiplo de . - Se
, então . - Se
, então .
Em todo caso, um dos fatores, ou é múltiplo de , logo o produto é divisível por .
Passo 4
Conclusão da prova direta:
já que é múltiplo de
e de
, ele é múltiplo de
. Portanto
já que
para todo
.
Passo 5
Prova por indução:
Base (
):
que é múltiplo de
. Logo
vale.
Passo indutivo: suponha que
vale, isto é,
Precisamos mostrar
:
Observe que
Pela hipótese indutiva
é múltiplo de
e
também é múltiplo de
, então a soma
é múltipla de
. Assim
vale e a indução se completa.
Resposta
Concluímos que, para todo inteiro
, vale
tanto pela prova direta (divisibilidade por
e por
) quanto pela prova por indução.