Questão 2. Sejam a, b in Z e n in N^*. Use a primeira forma do Princípio de Induçāo para provar as afirmaçōes abaixo.
(a+b) mid(a^2 n-b^2 n).

Passo 1

O enunciado diz que, para inteiros a,b e ninN^*, devemos provar que
(a+b)midl(a^2n-b^2nr)
usando indução em n. O conteúdo aqui é divisibilidade e o Princípio de Indução.

Passo 2

Base da indução ( n=1).
Calculamos
a^2cdot1-b^2cdot1=a^2-b^2=(a+b)(a-b),
logo (a+b) é fator de a^2-b^2. Portanto a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 valha
(a+b)midl(a^2k-b^2kr)
Isso é a hipótese de indução.

Passo 4

Agora mostramos que a mesma divisibilidade vale para n=k+1. Observe que
a^2(k+1)-b^2(k+1) = a^2,a^2k-b^2,b^2k = a^2k(a^2-b^2)+b^2l(a^2k-b^2kr)
No primeiro termo, a^2-b^2=(a+b)(a-b), então (a+b) o divide. No segundo termo, pela hipótese de indução (a+b) divide l(a^2k-b^2kr), e portanto também divide b^2l(a^2k-b^2kr). Como a soma de dois múltiplos de (a+b) continua sendo múltiplo de (a+b), concluímos
(a+b)midl(a^2(k+1)-b^2(k+1)r)

Resposta

Pelo Princípio de Indução, a afirmação (a+b)midl(a^2n-b^2nr) vale para todo ninN^*.

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