Questão 2. Sejam
e
. Use a primeira forma do Princípio de Induçāo para provar as afirmaçōes abaixo.
.
Passo 1
O enunciado diz que, para inteiros
e
, devemos provar que
usando indução em
. O conteúdo aqui é divisibilidade e o Princípio de Indução.
Passo 2
Base da indução (
).
Calculamos
Calculamos
logo
é fator de
. Portanto a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Isso é a hipótese de indução.
Passo 4
Agora mostramos que a mesma divisibilidade vale para
. Observe que
No primeiro termo,
, então
o divide. No segundo termo, pela hipótese de indução
divide
, e portanto também divide
. Como a soma de dois múltiplos de
continua sendo múltiplo de
, concluímos
Resposta
Pelo Princípio de Indução, a afirmação
vale para todo
.