Questão 1: Prove, por diferenciação, que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, por diferenciação, que a primitiva
é igual a
Informações dadas e hipóteses implícitas:
- A expressão a ser integrada é
. - A constante
é fixa; para a fórmula escrita fazer sentido devemos ter (caso a fórmula com não vale) e também (para evitar divisão por zero na integranda). - O objetivo é verificar que a derivada da função proposta como primitiva é exatamente a integranda.
Passo 2
Estratégia (explicação didática das regras de diferenciação que vamos usar):
- Quando se pede “provar por diferenciação” significa: definir a função candidata a primitiva e calcular a sua derivada; se a derivada for igual ao integrando, a prova está feita (até uma constante).
- Regras que usaremos:
- Derivada de uma constante vezes uma função:
. - Derivada da diferença:
. - Regra da cadeia: se
é função de , então (válido para ). Isso vem de e aplicando a derivada de .
- Derivada de uma constante vezes uma função:
- Um pequeno exemplo para fixar: se
então porque .
Passo 3
Definimos a função candidata
Calculamos
passo a passo aplicando as regras acima.
Primeiro,
Usando a regra da cadeia (
):
Substituindo em
:
Fatorando
no numerador:
Agora colocamos as frações sobre o mesmo denominador:
Portanto
Multiplicando os fatores do denominador:
logo
Passo 4
Conclusão e comentários finais:
- Encontramos que
, ou seja, a derivada da função proposta é exatamente a integranda. - Assim
é uma primitiva de , e a integral indefinida é
válida para
e
.
- Bom trabalho! Se ficou alguma conta confusa, me diz que eu explico de outro jeito — mas o essencial é: derivando a expressão dada chega-se ao integrando, e isso fecha a prova.