Questão 1: Prove, por diferenciação, que:
\int \frac{d x}{4 x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{4 a}(\ln |2 x-a|-\ln |2 x+a|)+C

Passo 1

O enunciado pede para provar, por diferenciação, que a primitiva
\int \frac{dx}{4x^{2}-a^{2}}
é igual a
\frac{1}{4a}\bigl(\ln\!\left|2x-a\right|-\ln\!\left|2x+a\right|\bigr)+C.
Informações dadas e hipóteses implícitas:
  • A expressão a ser integrada é \dfrac{1}{4x^{2}-a^{2}}.
  • A constante a é fixa; para a fórmula escrita fazer sentido devemos ter a\neq 0 (caso a=0 a fórmula com 1/(4a) não vale) e também x\neq \pm \dfrac{a}{2} (para evitar divisão por zero na integranda).
  • O objetivo é verificar que a derivada da função proposta como primitiva é exatamente a integranda.

Passo 2

Estratégia (explicação didática das regras de diferenciação que vamos usar):
  • Quando se pede “provar por diferenciação” significa: definir a função candidata a primitiva e calcular a sua derivada; se a derivada for igual ao integrando, a prova está feita (até uma constante).
  • Regras que usaremos:
    • Derivada de uma constante vezes uma função: \dfrac{d}{dx}\bigl(k\,f(x)\bigr)=k\,f'(x).
    • Derivada da diferença: \dfrac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x).
    • Regra da cadeia: se u(x) é função de x, então \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln|u(x)|\bigr)=\dfrac{u'(x)}{u(x)} (válido para u(x)\neq 0). Isso vem de \dfrac{d}{du}\ln u=1/u e aplicando a derivada de u(x).
  • Um pequeno exemplo para fixar: se u(x)=2x-3 então \dfrac{d}{dx}\ln|2x-3|=\dfrac{2}{2x-3} porque u'(x)=2.

Passo 3

Definimos a função candidata
F(x)=\frac{1}{4a}\bigl(\ln\!\left|2x-a\right|-\ln\!\left|2x+a\right|\bigr).
Calculamos F'(x) passo a passo aplicando as regras acima.
Primeiro,
F'(x)=\frac{1}{4a}\left(\frac{d}{dx}\ln\!\left|2x-a\right|-\frac{d}{dx}\ln\!\left|2x+a\right|\right).
Usando a regra da cadeia ( \dfrac{d}{dx}\ln|u(x)|=\dfrac{u'(x)}{u(x)}):
\frac{d}{dx}\ln\!\left|2x-a\right|=\frac{2}{2x-a}, \qquad \frac{d}{dx}\ln\!\left|2x+a\right|=\frac{2}{2x+a}.
Substituindo em F'(x):
F'(x)=\frac{1}{4a}\left(\frac{2}{2x-a}-\frac{2}{2x+a}\right).
Fatorando 2 no numerador:
F'(x)=\frac{2}{4a}\left(\frac{1}{2x-a}-\frac{1}{2x+a}\right)=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{2x-a}-\frac{1}{2x+a}\right).
Agora colocamos as frações sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{2x-a}-\frac{1}{2x+a}=\frac{(2x+a)-(2x-a)}{(2x-a)(2x+a)}=\frac{2a}{(2x-a)(2x+a)}.
Portanto
F'(x)=\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a}{(2x-a)(2x+a)}=\frac{1}{(2x-a)(2x+a)}.
Multiplicando os fatores do denominador:
(2x-a)(2x+a)=4x^{2}-a^{2},
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F'(x)=\frac{1}{4x^{2}-a^{2}}.

Passo 4

Conclusão e comentários finais:
  • Encontramos que F'(x)=\dfrac{1}{4x^{2}-a^{2}}, ou seja, a derivada da função proposta é exatamente a integranda.
  • Assim F(x) é uma primitiva de \dfrac{1}{4x^{2}-a^{2}}, e a integral indefinida é
\int \frac{dx}{4x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{4a}\bigl(\ln\!\left|2x-a\right|-\ln\!\left|2x+a\right|\bigr)+C,
válida para a\neq 0 e x\neq \pm \dfrac{a}{2}.
  • Bom trabalho! Se ficou alguma conta confusa, me diz que eu explico de outro jeito — mas o essencial é: derivando a expressão dada chega-se ao integrando, e isso fecha a prova.

Resposta

\displaystyle \int \frac{dx}{4x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{4a}\bigl(\ln\!\left|2x-a\right|-\ln\!\left|2x+a\right|\bigr)+C

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