- Encontre os limites a seguir da forma mais simples possível. Se for o caso, use a regra de L’Hôspital.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações úteis dadas (avaliadas no ponto de interesse):
-
. -
.
Observação sobre o sentido do limite: o índicesignifica que se aproxima de por valores maiores que (ou seja, com ).
Antes de calcular, verifique o tipo de forma indeterminada ao substituirdiretamente:
logo temos a forma indeterminada
. Portanto métodos como a regra de L’Hôspital ou uma substituição local são apropriados.
Passo 2
Vou aplicar a regra de L’Hôspital (porque temos forma
). L’Hôspital diz: se
e
e
são diferenciáveis em torno de
(exceto talvez em
), então, quando existir, vale
Aqui
e
. Calcule as derivadas:
Pelo L’Hôspital,
Passo 3
Agora preciso avaliar
. Pense no comportamento de
ao aproximar
de
pela direita. Para
com
pequeno:
-
. Para temos (positivo). -
. Para , , então (negativo e pequeno em magnitude).
Assim, para
,
que tende para
quando
. Portanto
Passo 4
Para reforçar (e para ver o comportamento da ordem de grandeza do quociente original), faço a substituição
com
diretamente na expressão inicial e uso aproximações de pequeno ângulo:
logo
Assim
Isto confirma a conclusão obtida com L’Hôspital: a expressão tende para
.