1. Encontre os limites a seguir da forma mais simples possível. Se for o caso, use a regra de L’Hôspital.
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{+}} \frac{\cos x}{1-\sin x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to(\pi/2)^{+}} \frac{\cos x}{1-\sin x}.
Informações úteis dadas (avaliadas no ponto de interesse):
  • \cos(\pi/2)=0.
  • \sin(\pi/2)=1.
    Observação sobre o sentido do limite: o índice ^{+} significa que x se aproxima de \pi/2 por valores maiores que \pi/2 (ou seja, x=\pi/2+h com h\to0^{+}).
    Antes de calcular, verifique o tipo de forma indeterminada ao substituir x=\pi/2 diretamente:
\text{numerador } \to \cos(\pi/2)=0,\qquad \text{denominador } \to 1-\sin(\pi/2)=0,
logo temos a forma indeterminada 0/0. Portanto métodos como a regra de L’Hôspital ou uma substituição local são apropriados.

Passo 2

Vou aplicar a regra de L’Hôspital (porque temos forma 0/0). L’Hôspital diz: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f,g são diferenciáveis em torno de a (exceto talvez em a), então, quando existir, vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=\cos x e g(x)=1-\sin x. Calcule as derivadas:
f'(x) = (\cos x)' = -\sin x, \qquad g'(x) = (1-\sin x)' = -\cos x.
Pelo L’Hôspital,
\lim_{x\to(\pi/2)^{+}} \frac{\cos x}{1-\sin x} = \lim_{x\to(\pi/2)^{+}} \frac{-\sin x}{-\cos x} = \lim_{x\to(\pi/2)^{+}} \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x\to(\pi/2)^{+}} \tan x.

Passo 3

Agora preciso avaliar \lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\tan x. Pense no comportamento de \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} ao aproximar x de \pi/2 pela direita. Para x=\pi/2+h com h>0 pequeno:
  • \sin x=\sin(\pi/2+h)=\cos h. Para h\to0 temos \cos h\to1 (positivo).
  • \cos x=\cos(\pi/2+h)=-\sin h. Para h\to0^{+}, \sin h\approx h>0, então \cos x\approx -h (negativo e pequeno em magnitude).
Assim, para h\to0^{+},
\tan(\pi/2+h)=\frac{\sin(\pi/2+h)}{\cos(\pi/2+h)}=\frac{\cos h}{-\sin h}\approx\frac{1}{-h}=-\frac{1}{h},
que tende para -\infty quando h\to0^{+}. Portanto
\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\tan x = -\infty.

Passo 4

Para reforçar (e para ver o comportamento da ordem de grandeza do quociente original), faço a substituição x=\pi/2+h com h\to0^{+} diretamente na expressão inicial e uso aproximações de pequeno ângulo:
\cos x=\cos(\pi/2+h)=-\sin h\approx -h,
\sin x=\sin(\pi/2+h)=\cos h\approx 1-\frac{h^{2}}{2},
logo
1-\sin x \approx 1-\left(1-\frac{h^{2}}{2}\right)=\frac{h^{2}}{2}.
Assim
\frac{\cos x}{1-\sin x}\approx\frac{-h}{h^{2}/2}=-\frac{2}{h}\to -\infty\quad\text{quando }h\to0^{+}.
Isto confirma a conclusão obtida com L’Hôspital: a expressão tende para -\infty.

Resposta

-\infty

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